Maharajah में ठीक यही मोहरे क्यों हैं

एक तालिका में उत्तर

शतरंज अपने लंबी चाल वाले मोहरे तीन चालों से बनाता है: हाथी की सीधी रेखा (R), ऊँट का विकर्ण (B) और घोड़े की छलाँग (N)। वज़ीर बस हाथी और ऊँट एक ही मोहरे में है। तीन चालों को ठीक सात तरीकों से जोड़ा जा सकता है, और ये रहे सातों।

मूल्य: Maharajah में सेना बनाते समय मोहरे की क़ीमत अंकों में। ये क़ीमतें खेल ने तय की हैं, ऊपर की ज्यामिति से नहीं निकाली गईं; चारों पारंपरिक मोहरे अपना सामान्य शतरंज मूल्य रखते हैं।

सात कहाँ से आता है: तीनों चालों में से हर एक या तो मोहरे में है या नहीं। इससे 2 · 2 · 2 = 8 मेल बनते हैं, और उनमें से एक, जिसमें कोई चाल नहीं, मोहरा नहीं है, इसलिए 8 − 1 = 7। नीचे के चित्र में हर रेखा का अर्थ है “एक और चाल जोड़ो”।

यही तीन चालें क्यों

बोर्ड को चौथाई घुमाइए, या उसे दर्पण में देखिए। हाथी फिर भी हाथी की तरह चलता है और घोड़ा घोड़े की तरह: मोहरों को फ़र्क नहीं पड़ता कि बोर्ड किस ओर मुड़ा है। ऐसे घुमाव या प्रतिबिंब को सममिति कहते हैं, और वर्ग की आठ सममितियाँ हैं। चित्र 2 के नीचे के बटन आपको तीन आज़माने देते हैं।

सममितियाँ हर संभव चाल को परिवारों में बाँट देती हैं। सीधी चाल सीधी रहती है, विकर्ण चाल विकर्ण, और हर दूसरी चाल, जो न सीधी है न विकर्ण, तिरछी रहती है। कोई चौथा परिवार नहीं है। हर परिवार की सबसे छोटी चाल है एक खाना सीधा, एक खाना विकर्ण में, और “दो और एक”: हाथी का कदम, ऊँट का कदम और घोड़े की छलाँग।

तो हाथी, ऊँट और घोड़ा तीन मनमाने आविष्कार नहीं हैं। हर एक वर्ग के केवल तीन परिवारों में से एक की सबसे सरल चाल है। गणितज्ञ इन परिवारों को कक्षाएँ कहते हैं।

शुरुआत वज़ीर ने की

लगभग पाँच सौ साल पहले शतरंज ने एक कदम उठाया जिसे आज हर खिलाड़ी स्वाभाविक मानता है: एक मोहरे को दो मोहरों की चालें दे दीं। वज़ीर हाथी और ऊँट एक साथ है। एक बार यह अनुमति मिल जाए, तो तीन और मेल प्रतीक्षा में हैं: हाथी और घोड़ा, ऊँट और घोड़ा, और तीनों एक साथ। शतरंज ने उन्हें कभी नहीं बनाया। Maharajah बनाता है: चांसलर, आर्कबिशप और महाराजा।

यहाँ कोई नई तरह की चाल नहीं है। Maharajah के हर मोहरे की हर चाल वही चाल है जो कोई पारंपरिक मोहरा पहले से चलता है।

वह गणित जो आप पहले से खेलते हैं

शतरंज खिलाड़ी हर चाल पर गणित करता है, उसे यह नाम दिए बिना। ये हैं वे छह विचार जिन पर यह लेख टिका है, हर एक वैसा जैसा आप उसे बोर्ड से पहले से जानते हैं, और वह नाम जो गणितज्ञ उसे देते हैं। भाग दो इन्हीं नामों का उपयोग करता है।

• चाल एक सदिश है। “दो ऊपर और एक दाएँ” किसी भी खाने से घोड़े की वही छलाँग है। चाल खानों की जोड़ी नहीं, बल्कि एक खिसकाव है: कितना बगल में और कितना ऊपर। संख्याओं की जोड़ी (1, 2) के रूप में लिखी जाए तो इसे सदिश कहते हैं।
• चालें जुड़ती हैं। लगातार दो छलाँगें किसी भी क्रम में एक ही खाने पर पहुँचती हैं। हर चाल उसी चाल को उलटा चलकर मिट जाती है, और जगह पर खड़े रहना “कुछ नहीं” वाली चाल है। इन नियमों वाली चालें वह बनाती हैं जिसे गणितज्ञ समूह कहते हैं।
• सममिति। दूसरी ओर का मात का पैटर्न आप उसी पैटर्न के प्रतिबिंब के रूप में पहचान लेते हैं। बोर्ड को घुमाना या उलटना, जिससे मोहरों की चाल न बदले, एक सममिति है; वर्ग की आठ हैं, और वे भी एक समूह बनाती हैं, जिसे D₄ कहते हैं।
• चालों के परिवार। चालों को इस आधार पर बाँटना कि घुमाव या प्रतिबिंब किन्हें एक-दूसरे में बदलता है, सीधे, विकर्ण और तिरछे परिवार देता है। गणितज्ञ ऐसे परिवारों को कक्षाएँ कहते हैं, और “एक ही परिवार” वाले नियम को तुल्यता।
• मेल गिनना। तीन चालें, हर एक मोहरे में है या नहीं: 2 · 2 · 2 = 8, ख़ाली वाला घटाकर। सारे मेल, हर एक उनसे जुड़ा जिनसे वह बढ़ता है, चित्र 1 का चित्र बनाते हैं, जिसे जालक कहते हैं।
• समता। ऊँट अपना रंग कभी नहीं छोड़ता, और घोड़ा हर छलाँग पर रंग बदलता है। यह केवल दो उत्तरों, सम और विषम, वाला अंकगणित है, जिसे मॉड्यूलो 2 गिनना कहते हैं। यह समझाने में मदद करता है कि आर्कबिशप अपने राजा के साथ मात क्यों दे सकता है जबकि न ऊँट न घोड़ा दे सकता है।

इसमें से कुछ भी शतरंज खिलाड़ी के लिए नया नहीं है; बस उसे नाम मिलते हैं। नामों के साथ, Maharajah के मोहरों का चुनाव रुचि का मामला नहीं रहता और ऐसी चीज़ बन जाता है जिसे जाँचा जा सकता है।

चार चौंकाने वाले परिणाम

हमने कंप्यूटर से राजा और एक मोहरा बनाम अकेला राजा का हर अंत हल करवाया। चार परिणाम अलग दिखते हैं।

1. एक ही मोहरे में ऊँट और घोड़ा मात दे सकते हैं। न ऊँट न घोड़ा अपने राजा के साथ ज़बरन मात दे सकता है। आर्कबिशप, जो दोनों है, हर स्थिति से मात देता है।
2. चालें ठीक-ठीक जुड़ती हैं। ख़ाली बोर्ड पर ऊँट की औसतन 8.75 चालें होती हैं और घोड़े की 5.25। आर्कबिशप की 14.00 हैं, ठीक योग और हाथी जितनी, क्योंकि घोड़ा कभी उस खाने पर नहीं कूदता जहाँ ऊँट पहुँच सकता हो।
3. महाराजा तेज़ है। अपने राजा के साथ वह अकेले राजा को किसी भी स्थिति से अधिकतम 4 चालों में मात देता है। वज़ीर को 10 तक चाहिए।
4. रंग तय करता है। ऐसा कोई मोहरा जिसकी हर चाल खाने का रंग बदलती है, अकेले मात नहीं दे सका, घोड़ा भी उनमें है। यह 18 मोहरों में दिखा पैटर्न है, प्रमाण नहीं।

पूरी तालिकाएँ भाग दो में हैं, गणनाएँ क्या दिखाती हैं के अंतर्गत।

क्या दावा है और क्या नहीं

दावा: Maharajah के तीन नए मोहरे ठीक हाथी, ऊँट और घोड़े की चालों के वे मेल हैं जो शतरंज ने छोड़ दिए।

दावा नहीं: कि यही एकमात्र संभव नए मोहरे हैं (बोर्ड एक लाख करोड़ से अधिक सममित मोहरे संभव करता है), या कि ज्यामिति तय करती है कि खेल में मोहरा कितना ताकतवर है। भाग दो प्रमाण और सीमाएँ पूरी तरह देता है।

प्रश्न

Maharajah शतरंज के छह मोहरों में तीन मोहरे जोड़ता है। महाराजा वज़ीर और घोड़े की तरह चलता है, चांसलर हाथी और घोड़े की तरह, आर्कबिशप ऊँट और घोड़े की तरह। स्वाभाविक प्रश्न है: यही तीन क्यों? क्या यह चुनाव सैकड़ों काल्पनिक शतरंज रूपों की तरह मनमाना है, या कोई चीज़ इसे तय करती है?

रुचि के बजाय प्रमाण से उत्तर देने के लिए हम चालों को गणित की भाषा में लिखते हैं: एक जालक पर सदिशों के रूप में, जिन्हें वर्ग का सममिति समूह व्यवस्थित करता है। तब «कौन से मोहरे छूटे हैं» का प्रश्न एक परिमित समुच्चय का प्रश्न बन जाता है, और परिमित समुच्चय को पूरा जाँचा जा सकता है।

चाल एक सदिश है

मान लीजिए कोई मोहरा खाने (x, y) पर है। एक चाल उसे (x + dx, y + dy) पर ले जाती है। जोड़ी (dx, dy) को हम चाल-सदिश कहते हैं। मोहरा सदिश का उपयोग दो तरह से कर सकता है:

• छलाँग: सदिश के बराबर एक कदम, बीच में चाहे जो हो (घोड़ा);
• सरकना: वही कदम तब तक दोहराना जब तक खाना खाली है (हाथी और ऊँट)।

8×8 बोर्ड पर dx और dy दोनों −7 से 7 के बीच होते हैं, इसलिए 15 × 15 − 1 = 224 शून्येतर सदिश हैं। बोर्ड जितनी चालें अनुमति देता है, वे सब यही हैं। चित्र 3 इनमें से हर एक दिखाता है: केंद्र मोहरे का खाना है, हर कोष्ठ एक सदिश है। किसी भी कोष्ठ पर टैप करें और उसकी दिशा तथा उसे उपयोग करने वाले मोहरे देखें।

8 नहीं, 15 क्यों: सदिश इस पर निर्भर नहीं करता कि मोहरा कहाँ खड़ा है। a-स्तंभ से मोहरा दाईं ओर ज़्यादा से ज़्यादा 7 स्तंभ जा सकता है, dx = +7 (a → h); h-स्तंभ से बाईं ओर ज़्यादा से ज़्यादा 7, dx = −7 (h → a)। बीच का हर मान भी संभव है, और 0 भी, इसलिए dx के 7 + 1 + 7 = 15 मान होते हैं, और dy के भी उतने ही। इससे 15 × 15 का जाल बनता है जिसके केंद्र में मोहरा है; हटाया जाने वाला अकेला सदिश (0, 0) है, यानी अपनी जगह खड़े रहना। किसी एक खाने से इनमें से सिर्फ़ 63 सदिश बिसात पर रहते हैं (हर दूसरे खाने के लिए एक), पर कौन-से 63, यह खाने पर निर्भर है: कोने में सब एक ओर इशारा करते हैं, केंद्र में हर दिशा में।

चालें जुड़ती हैं: एक के बाद एक की गई दो चालें एक ही चाल हैं, (dx₁, dy₁) + (dx₂, dy₂) = (dx₁ + dx₂, dy₁ + dy₂)। इस जोड़ के साथ सदिश योगात्मक समूह ℤ² बनाते हैं: दो सदिशों का योग फिर एक सदिश है, क्रम मायने नहीं रखता (v + w = w + v), (0, 0) शून्य है, और हर सदिश v का एक विपरीत −v है, जिसके लिए v + (−v) = 0। 15 × 15 का जाल इस समूह की एक खिड़की है, अपने-आप में समूह नहीं: (7, 0) + (7, 0) = (14, 0) बिसात पर नहीं समाता।

सीधे शब्दों में: “दो ऊपर, फिर एक दाएँ” और “एक दाएँ, फिर दो ऊपर” एक ही खाने पर पहुँचते हैं; अपनी जगह खड़े रहना शून्य चाल है; और हर चाल उसी चाल को उलटी दिशा में चलने से रद्द हो जाती है।

वर्ग की सममिति

बोर्ड को 90° घुमाइए या उसका दर्पण-प्रतिबिंब लीजिए — हाथी हाथी ही रहता है और घोड़ा घोड़ा। वर्ग के ऐसे आठ रूपांतरण हैं: चार घूर्णन और चार परावर्तन। मिलकर वे द्वितल समूह D₄ बनाते हैं, जो वर्ग का सममिति समूह है। जिस मोहरे के नियम इस पर निर्भर नहीं करते कि बोर्ड कैसे घुमाया गया है (प्यादे को छोड़कर हर पारंपरिक मोहरा), उसमें हर सदिश के साथ D₄ के अंतर्गत उसके सभी प्रतिबिंब भी होते हैं।

हर सममिति एक पूर्णांक आव्यूह है जो चाल-सदिशों पर क्रिया करता है: चौथाई घूर्णन (x, y) को (−y, x) में ले जाता है, विकर्ण में परावर्तन (x, y) को (y, x) में। इसलिए सममितियाँ जोड़ को बनाए रखती हैं, g(v + w) = g(v) + g(w): दो चालों के बाद बोर्ड घुमाना वैसा ही है जैसे हर चाल को घुमाकर उन्हें जोड़ना। समूहों की भाषा में D₄, ℤ² पर क्रिया करता है और हर सममिति ℤ² की स्वसमाकारिता है। आधा घूर्णन हर v को −v में ले जाता है, इसलिए सममित मोहरे के पास हर चाल के साथ वापसी की चाल भी हमेशा होती है।

दो सदिशों को तुल्य कहें, यदि कोई सममिति एक को दूसरे में बदल दे। यह एक तुल्यता संबंध है, और समूह के तीन नियम ही इसे ऐसा बनाते हैं: हर सदिश अपने-आप के तुल्य है (तत्समक सममिति), संबंध दोनों ओर चलता है (हर सममिति को उलटा जा सकता है), और यह शृंखला में जुड़ता है (लगातार दो सममितियाँ फिर एक सममिति हैं)। इसके वर्ग सदिशों को ऐसे परिवारों में बाँटते हैं जो एक-दूसरे से नहीं मिलते।

एक सदिश के सभी प्रतिबिंबों का समुच्चय उसकी कक्षा है, और कक्षाएँ यही वर्ग हैं। कक्षा-स्थायीकारी प्रमेय उसका आकार देता है: |कक्षा| = 8 / |स्थायीकारी|, जहाँ स्थायीकारी वे सममितियाँ हैं जो सदिश को अपनी जगह छोड़ देती हैं। रेखा या विकर्ण पर स्थित सदिश एक परावर्तन से अपरिवर्तित रहता है, इसलिए उसकी कक्षा में 4 दिशाएँ हैं। घोड़े जैसे तिरछे सदिश को कोई सममिति अपरिवर्तित नहीं रखती, इसलिए उसकी 8 दिशाएँ हैं।

सीधे शब्दों में: हाथी का क़दम (1, 0) लीजिए। बोर्ड को 90° घुमाने से (0, 1), (−1, 0) और (0, −1) मिलते हैं, पर बोर्ड को ऊपर-नीचे पलटने पर (1, 0) अपनी जगह रहता है, इसलिए आठ समरूपताएँ चारों दिशाओं में से हर एक को दो बार देती हैं। घोड़े के क़दम (2, 1) में ऐसी कोई समरूपता नहीं: आठों अलग-अलग सदिश देती हैं, जो नीचे सूचीबद्ध हैं।

7, 7 और 21 कहाँ से आते हैं। एक कक्षा (orbit) उसकी दो क़दम-लंबाइयों से तय होती है, चिह्न के बिना। रेखा की कक्षा (a, 0) है, जहाँ a 1 से 7 तक: 7 कक्षाएँ, हर एक में 4 सदिश, (±a, 0) और (0, ±a)। विकर्ण की कक्षा (a, a) है: फिर 7 कक्षाएँ, हर एक में 4, (±a, ±a)।

तिरछी कक्षा 1 से 7 तक की दो अलग संख्याओं की जोड़ी है, और उनका क्रम मायने नहीं रखता: (2, 1) और (1, 2) एक ही कक्षा में हैं। ऐसी 7 · 6 / 2 = 21 जोड़ियाँ हैं, {2, 1}, {3, 1}, {3, 2}, {4, 1} … {7, 6}, और हर कक्षा में 8 सदिश हैं: 2 क्रम × 4 चिह्न-संयोजन। उदाहरण के लिए, घोड़े की कक्षा (2, 1) (1, 2) (−1, 2) (−2, 1) (−2, −1) (−1, −2) (1, −2) (2, −1) है। जाँच: 7 + 7 + 21 = 35 कक्षाओं में 28 + 28 + 168 = 224 सदिश। सीधे शब्दों में, दिशा को अनदेखा करें तो 35 अलग चालें हैं: हाथी के लिए 7 लंबाइयाँ, ऊँट के लिए 7 और घोड़े जैसी 21 आकृतियाँ।

यही गिनती एक भी कक्षा गिनाए बिना निकलती है। बर्नसाइड प्रमेयिका कहती है कि कक्षाओं की संख्या उन सदिशों की औसत संख्या है जिन्हें एक सममिति अपनी जगह छोड़ देती है। शून्य सहित पूरा 15 × 15 का जाल लीजिए: तत्समक सभी 225 सदिशों को स्थिर रखता है, तीन घूर्णनों में से हर एक केवल (0, 0) को, और चार परावर्तनों में से हर एक अपनी अक्ष पर के 15 सदिशों को। इसलिए कक्षाओं की संख्या (225 + 3 · 1 + 4 · 15) / 8 = 288 / 8 = 36 है: 35 दिशाएँ और शून्य सदिश, जो अपनी कक्षा में अकेला है।

ठीक तीन मूल चालें क्यों। एक शून्येतर सदिश को या तो वर्ग की भुजाओं से होकर जाने वाली अक्ष में परावर्तन अपनी जगह रखता है (रेखा सदिश), या किसी विकर्ण में परावर्तन (विकर्ण सदिश), या तत्समक के सिवा कोई सममिति नहीं (तिरछे सदिश)। इसलिए दिशाओं के तीन प्रकार हैं, इससे अधिक नहीं। हर प्रकार का सबसे छोटा सदिश (1, 0), (1, 1) और (2, 1) है: हाथी का क़दम, ऊँट का क़दम और घोड़े की छलांग। शतरंज अपने लंबी दूरी वाले मोहरे हर प्रकार के सबसे छोटे सदस्य से बनाता है, इसलिए इन तीनों को रुचि नहीं, ज्यामिति चुनती है।

संवरण प्रमेय

शतरंज की तीन लंबी चालों को लिखें: R, रेखा पर सरकना; B, विकर्ण पर सरकना; N, घोड़े की छलाँग। दो मोहरों का मेल X ∨ Y वह मोहरा है जो X या Y की तरह चल सकता है। वज़ीर पहला उदाहरण है: Q = R ∨ B। मेल साहचर्य, क्रमविनिमेय और वर्गसम है, इसलिए इन तीन चालों से बने मोहरे {R, B, N} के उपसमुच्चयों का बूलीय जालक बनाते हैं।

सीधे शब्दों में: संयोजन में क्रम मायने नहीं रखता (R ∨ N वही मोहरा है जो N ∨ R), और कोई चाल जो मोहरे के पास पहले से है, जोड़ने से कुछ नहीं बदलता (R ∨ R = R)। इसलिए R, B और N से बना मोहरा पूरी तरह इससे तय होता है कि तीनों में से कौन-सी चालें उसके पास हैं।

मेल समूह की संक्रिया नहीं है। चालें जुड़कर समूह बनाती हैं, पर मोहरों के मेल का कोई प्रतिलोम नहीं होता: एक बार जोड़ी गई चाल किसी दूसरे मेल से हटाई नहीं जा सकती। इसीलिए मोहरे जालक बनाते हैं, समूह नहीं। समूह तय करता है कि मोहरे किससे बनते हैं; मेल तय करता है कि वे कैसे जुड़ते हैं।

यही गिनती बिना चिह्नों के: R, B और N में से हर एक या तो मोहरे में है या नहीं, इससे 2 · 2 · 2 = 8 संयोजन बनते हैं। उनमें से एक में कुछ नहीं है और वह मोहरा नहीं है, इसलिए 7 बचते हैं। चित्र 1 और पहले भाग की तालिका सातों दिखाती हैं।

दो उपप्रमेय। पहला, Maharajah कोई नई दिशा नहीं लाता: उसके सभी मोहरे 35 में से वही तीन कक्षाएँ उपयोग करते हैं जो पारंपरिक शतरंज करता है। दूसरा, समूह न्यूनतम है। तीन नए मोहरों में से किसी एक के बिना वह संवृत नहीं रहता, और कोई भी अन्य जोड़ा गया मोहरा एक नई चाल लाता।

पारंपरिक शतरंज मेल को एक सिद्धांत के रूप में स्वीकार करता है (वज़ीर), पर उसे तीन में से केवल एक जोड़ी पर लागू करता है। Maharajah वही सिद्धांत हर जोड़ी और तीनों पर लागू करता है।

कितने मोहरे संभव हैं

सममित मोहरा इससे तय होता है कि वह 35 कक्षाओं में से हर एक के साथ क्या करता है: उसे छोड़ देता है, उस पर छलाँग लगाता है, या उस पर सरकता है। सरकना छलाँग से तभी अलग है जब बोर्ड पर कम से कम दो कदम समाएँ, यानी जब 2·max(|dx|, |dy|) ≤ 7। ऐसा ठीक 9 कक्षाओं में होता है, जिनकी लंबाई 3 तक है। बाकी 26 के पास केवल दो विकल्प हैं।

सरकने के लिए 2·max(|dx|, |dy|) ≤ 7 क्यों चाहिए: सरकने वाला मोहरा एक ही कदम बार-बार दोहराता है, इसलिए उसका दूसरा कदम दुगनी दूरी पर पड़ता है। (3, 0) पर a-स्तंभ का मोहरा d तक, फिर g तक पहुँचता है: दो कदम समा जाते हैं। (4, 0) पर दूसरे कदम को 8 स्तंभ चाहिए, पर बोर्ड ज़्यादा से ज़्यादा 7 देता है, इसलिए “(4, 0) पर सरकना” और “(4, 0) पर छलाँग” एक ही मोहरा है। लंबाई वाला स्तंभ कक्षाओं को बड़े निर्देशांक से गिनता है: लंबाई L की L + 1 कक्षाएँ हैं, (L, 0), (L, 1) … (L, L)। इसलिए लंबाई 1 से 3 तक 2 + 3 + 4 = 9 कक्षाएँ देती है, और 4 से 7 तक 5 + 6 + 7 + 8 = 26।

ये चुनाव एक-दूसरे से स्वतंत्र हैं, इसलिए गुणा होते हैं। तीन-तीन विकल्पों वाली दो कक्षाएँ ही 3 · 3 = 9 संयोजन देती हैं। सभी 35 के लिए: छोटी कक्षाओं के 3⁹ = 19,683 गुणा लंबी कक्षाओं के 2²⁶ = 67,108,864। एक संयोजन हर कक्षा को छोड़ देता है: ऐसा “मोहरा” जो चल ही नहीं सकता। इसीलिए 1 घटाया जाता है।

तो 8×8 बोर्ड पर ठीक 3⁹ · 2²⁶ − 1 = 1,320,903,770,111 सममित मोहरे संभव हैं, 1.3 लाख करोड़ से अधिक। इस गिनती में वे मोहरे शामिल नहीं जो केवल आगे चलते हैं (प्यादा, शोगी के मोहरे), जो दूसरों के ऊपर से कूदते हैं (टिड्डा, शियांगची की तोप) और जिनका रास्ता रोका जा सकता है (शियांगची का घोड़ा)। निष्कर्ष सरल है: कोई भी मोहरा-समूह सभी संभव मोहरों में «पूर्ण» नहीं हो सकता। पूर्णता का अर्थ केवल किसी चुने हुए आधार के सापेक्ष है।

व्यापक आधार: 17 मोहरे

अगर आधार में छोटे कदम भी हों तो? रेखा पर मोहरे के पास कुछ नहीं, कदम W या सरकना R हो सकता है; विकर्ण पर कुछ नहीं, कदम F या सरकना B; और घोड़ा हो या न हो। इससे 3 · 3 · 2 − 1 = 17 मोहरे बनते हैं। पारंपरिक शतरंज में इनमें से 5 हैं (राजा केवल शाही मोहरे के रूप में), Maharajah में 8। बाकी नौ अन्य परंपराओं से ज्ञात हैं: प्राचीन शतरंज का फ़र्ज़, शोगी के ड्रैगन, काल्पनिक मोहरे।

गिनती “कितने मोहरे संभव हैं” की तरह ही है: रेखाओं पर 3 विकल्प × विकर्णों पर 3 × घोड़े के लिए 2 = 18, और जिस एक संयोजन में कुछ नहीं है वह मोहरा नहीं है।

ज्ञात मोहरों का एटलस

नीचे शतरंज, Maharajah, प्राचीन फ़ारसी शतरंज (वह खेल जिससे आधुनिक शतरंज निकला), शियांगची (चीनी शतरंज), शोगी (जापानी शतरंज) और काल्पनिक शतरंज के 31 मोहरे हैं। हर छोटा चित्र खाली बोर्ड पर d4 से चालें दिखाता है। किसी मोहरे पर टैप करें, वह बड़े बोर्ड पर खुलेगा। वहाँ आप किसी खाने पर टैप करके उसे हिला सकते हैं और हीट मैप चालू कर सकते हैं कि हर खाने से उसकी कितनी चालें हैं।

गणनाएँ क्या दिखाती हैं

हर मोहरे के लिए हमने खाली बोर्ड पर उसकी गतिशीलता गिनी और हर स्थिति की गणना करके «राजा और मोहरा बनाम अकेला राजा» अंतिम खेल हल किया (चाल वाले हर पक्ष के लिए लगभग 2 लाख 62 हज़ार)। हलकर्ता को ज्ञात परिणामों पर जाँचा गया है: वज़ीर से सबसे लंबी मात 10 चालों में और हाथी से 16 में आती है, जैसा एंडगेम टेबलबेस में है।

262 हज़ार कहाँ से आते हैं: सफ़ेद राजा, काला राजा और सफ़ेद मोहरा, हर एक 64 में से किसी भी खाने पर खड़ा हो सकता है, और 64 · 64 · 64 = 262,144। जिन स्थितियों में दो एक ही खाने पर हों या राजा अगल-बगल हों, वे अवैध हैं और छोड़ दी जाती हैं।

औसत: 64 खानों पर चालों की औसत संख्या। कोना और केंद्र: एक खाने से सबसे कम और सबसे अधिक चालें। व्यास: दो खानों के बीच आवश्यक सबसे अधिक चालें। निश्चित जीत: उन स्थितियों का अंश (सफ़ेद की चाल) जहाँ मात अनिवार्य है। सबसे लंबी मात: चालों में, दोनों पक्षों के सर्वोत्तम खेल के साथ। Maharajah के मोहरे हाइलाइट किए गए हैं।

Betza काल्पनिक मोहरों की चालों का मानक संक्षिप्त अंकन है। W रेखा पर एक क़दम, F विकर्ण पर एक क़दम, N घोड़े की छलाँग, K = W + F राजा का क़दम; R, B और Q सरकते हैं, और दोहरा अक्षर भी सरकता है (NN, नाइटराइडर)। अक्षर जुड़ते हैं: RN हाथी की तरह भी चलता है और घोड़े की तरह भी। प्यादे के mfWcfF में m का अर्थ है केवल चलना, c केवल मारना, f आगे।

चार निष्कर्ष जो केवल ज्यामिति से निकलते हैं:

1. गतिशीलता ठीक-ठीक जुड़ती है। घोड़े का सदिश किसी रेखा या विकर्ण सदिश का गुणज नहीं है, इसलिए घोड़े के खाने कभी सरकने वाले मोहरे के खानों से नहीं मिलते: A = B + N = 8.75 + 5.25 = 14.00, ठीक हाथी जितना।
2. मेल वह कर सकता है जो कोई भाग नहीं कर सकता। न ऊँट न घोड़ा अकेले मात दे सकता है; आर्कबिशप किसी भी स्थिति से मात देता है। कारण खानों का रंग है (चित्र 6)।
3. महाराजा अधिकतम 4 चालों में मात देता है, किसी भी स्थिति से; वज़ीर को 10 तक चाहिए।
4. समता। ऐसा कोई मोहरा जिसकी हर चाल खाने का रंग बदलती है (W, N, W+N, नाइटराइडर), अकेले मात नहीं दे सकता। यह 18 मोहरों पर देखा गया पैटर्न है, प्रमाण नहीं।

सीधे शब्दों में: स्तंभों और पंक्तियों को 1 से 8 तक गिनिए और दोनों संख्याएँ जोड़िए। गहरे खानों का योग सम होता है, हल्के खानों का विषम। ऊँट की चाल योग को सम संख्या से बदलती है, इसलिए ऊँट कभी रंग नहीं बदलता। घोड़े की चाल उसे 1 या 3 से बदलती है, जो विषम है, इसलिए घोड़ा हर चाल पर रंग बदलता है। आर्कबिशप के पास दोनों चालें हैं और वह किसी भी खाने तक पहुँच सकता है, इसीलिए वह मात दे सकता है, जबकि ऊँट और घोड़ा अकेले नहीं।

दावे की सीमाएँ

ताकि निष्कर्ष को उससे अधिक व्यापक न पढ़ा जाए जितना वह सिद्ध है:

• हर संभव मोहरा नहीं। Maharajah में 1.3 लाख करोड़ से अधिक सममित मोहरों में से 7 हैं। यह आधार {R, B, N} पर मेल के अंतर्गत पूर्ण है, यानी शतरंज की अपनी लंबी चालों के सापेक्ष।
• घोड़े का सरकना। रेखा और विकर्ण के लिए शतरंज में कदम (राजा) और सरकना (हाथी, ऊँट) दोनों हैं; घोड़े के लिए केवल छलाँग है। नाइटराइडर, जो घोड़े के सदिश पर सरकता है, न शतरंज में है न Maharajah में।
• अन्य प्रकार के मोहरे, जो केवल आगे चलते हैं, दूसरे मोहरों के ऊपर से कूदते हैं या जिनका रास्ता रोका जा सकता है, इस मॉडल से बाहर हैं।
• शक्ति और मूल्य। ज्यामिति यह तय नहीं करती कि खेल में मोहरे का मूल्य कितना है। यह इंजन से मापने का प्रश्न है, इस लेख का नहीं।

विचार का इतिहास

शतरंज के मोहरों का समूह हमेशा बढ़ाया जाता रहा है। प्राचीन फ़ारसी शतरंज में वज़ीर की जगह फ़र्ज़ था, विकर्ण पर एक कदम, और ऊँट की जगह अल-फ़ील, (2, 2) पर छलाँग। पंद्रहवीं सदी के अंत में यूरोप में उनकी जगह आधुनिक वज़ीर (R ∨ B) और ऊँट आए, और तभी चालों का मेल शतरंज में आया।

हाथी और ऊँट को घोड़े के साथ मिलाने का प्रस्ताव कई बार आया: पिएत्रो कर्रेरा (1617) 10 × 8 बोर्ड पर, हेनरी बर्ड (1874), होसे राउल कापाब्लांका (1920 का दशक) चांसलर और आर्कबिशप के साथ, क्रिस्टियान फ़्रीलिंग का Grand Chess (1984) 10 × 10 पर, यासर सेइरावान और ब्रूस हार्पर का Seirawan Chess (2007) 8 × 8 पर। वज़ीर और घोड़ा (अमेज़न) क्षेत्रीय और काल्पनिक शतरंज में मिलता है। ऐतिहासिक तिथियाँ आम तौर पर उद्धृत स्रोतों से हैं और मूल स्रोतों से नहीं जाँची गईं।

Maharajah में नया मोहरे स्वयं नहीं हैं, बल्कि यह कि सातों मेल साधारण 8 × 8 बोर्ड पर एक साथ हैं, और खिलाड़ी एक ही बजट से अपनी सेना बनाते हैं।

विधियाँ और पुनरुत्पादनीयता

यहाँ हर संख्या गणना से निकली है, साहित्य से नहीं ली गई। kxk.c (C, लगभग 3 सेकंड) गतिशीलता, रंग-बंधन और व्यास गिनता है, और K + X बनाम K अंतिम खेल को पश्चगामी विश्लेषण से हल करता है: मात की स्थितियों से पीछे की ओर, हर बार आधी चाल, जब तक जीती हुई स्थितियों का समुच्चय बढ़ना बंद न कर दे। वैध स्थितियों में राजा पास-पास नहीं होते और मोहरा अपने ही खाने पर होता है; पैट ड्रॉ है; काला राजा असुरक्षित मोहरे को मार सकता है। इस पेज के छोटे चित्र उन्हीं चाल-परिभाषाओं से बने हैं। kxk.c का सोर्स कोड ऊपर के लिंक से ब्राउज़र में खुलता है: इसे cc -O2 kxk.c -o kxk से कंपाइल करें और ./kxk चलाएँ।

निष्कर्ष

पारंपरिक शतरंज अपने लंबी चाल वाले मोहरे तीन चालों से बनाता है — रेखा, विकर्ण और घोड़े की छलाँग — और उनके सात मेलों में से चार का उपयोग करता है। महाराजा, चांसलर और आर्कबिशप ठीक वही तीन हैं जो छूटे थे। इसलिए Maharajah का मोहरा-समूह अपनी ही चालों के मेल के अंतर्गत शतरंज के समूह का संवरण है। कुछ नया नहीं जोड़ा गया; वज़ीर ने जो शुरू किया था, वह पूरा हुआ।

और गणित हर समय बोर्ड पर था। हर खिलाड़ी जो जानता है कि ऊँट अपने रंग पर रहता है, कि घोड़े की छलाँग उलटी जा सकती है, या कि कोई पैटर्न दूसरी ओर भी वैसे ही काम करता है, वह बिना नामों के सदिश, सममिति और समता का उपयोग करता आया है।

इन मोहरों से सेना आप सेना निर्माता में बना सकते हैं, और हर मोहरा कैसे चलता है यह सीखें में देख सकते हैं।