Maharajah میں ٹھیک یہی مہرے کیوں ہیں

ایک جدول میں جواب

شطرنج اپنے لمبی چال والے مہرے تین چالوں سے بناتی ہے: رخ کی سیدھی لکیر (R)، اونٹ کی ترچھی لکیر (B) اور گھوڑے کی چھلانگ (N)۔ وزیر بس ایک ہی مہرے میں رخ اور اونٹ ہے۔ تین چالوں کو ٹھیک سات طریقوں سے ملایا جا سکتا ہے، اور یہ رہے ساتوں۔

قدر: Maharajah میں فوج بناتے وقت مہرے کی قیمت، پوائنٹس میں۔ یہ قیمتیں کھیل نے مقرر کی ہیں، اوپر کی جیومیٹری سے اخذ نہیں کی گئیں؛ چاروں روایتی مہرے اپنی معمول کی شطرنج والی قدر رکھتے ہیں۔

سات کہاں سے آتا ہے: تینوں چالوں میں سے ہر ایک یا تو مہرے میں ہے یا نہیں۔ اس سے 2 · 2 · 2 = 8 ملاپ بنتے ہیں، اور ان میں سے ایک، جس میں کوئی چال نہیں، مہرہ نہیں، اس لیے 8 − 1 = 7۔ نیچے کی تصویر میں ہر لکیر کا مطلب ہے “ایک اور چال شامل کرو”۔

یہی تین چالیں کیوں

بورڈ کو چوتھائی گھمائیں، یا اسے آئینے میں دیکھیں۔ رخ پھر بھی رخ کی طرح چلتا ہے اور گھوڑا گھوڑے کی طرح: مہروں کو پروا نہیں کہ بورڈ کس طرف مڑا ہے۔ ایسے گھماؤ یا عکس کو تشاکل کہتے ہیں، اور مربع کے آٹھ ہیں۔ شکل 2 کے نیچے کے بٹن آپ کو تین آزمانے دیتے ہیں۔

تشاکل ہر ممکن چال کو خاندانوں میں بانٹ دیتے ہیں۔ سیدھی چال سیدھی رہتی ہے، ترچھی چال ترچھی، اور ہر دوسری چال، جو نہ سیدھی ہے نہ ترچھی، ٹیڑھی رہتی ہے۔ کوئی چوتھا خاندان نہیں۔ ہر خاندان کی سب سے چھوٹی چال ہے ایک خانہ سیدھا، ایک خانہ ترچھا، اور “دو اور ایک”: رخ کا قدم، اونٹ کا قدم اور گھوڑے کی چھلانگ۔

تو رخ، اونٹ اور گھوڑا تین اتفاقی ایجادیں نہیں۔ ہر ایک مربع کے صرف تین خاندانوں میں سے ایک کی سب سے سادہ چال ہے۔ ریاضی دان ان خاندانوں کو مدار کہتے ہیں۔

آغاز وزیر نے کیا

تقریباً پانچ سو سال پہلے شطرنج نے ایک قدم اٹھایا جسے آج ہر کھلاڑی فطری سمجھتا ہے: ایک مہرے کو دو مہروں کی چالیں دے دیں۔ وزیر رخ اور اونٹ اکٹھے ہے۔ جب یہ اجازت مل جائے تو تین اور ملاپ منتظر ہیں: رخ اور گھوڑا، اونٹ اور گھوڑا، اور تینوں ایک ساتھ۔ شطرنج نے انہیں کبھی نہیں بنایا۔ Maharajah بناتا ہے: چانسلر، آرچ بشپ اور مہاراجہ۔

یہاں کوئی نئی قسم کی چال نہیں۔ Maharajah کے ہر مہرے کی ہر چال وہی چال ہے جو کوئی روایتی مہرہ پہلے سے چلتا ہے۔

وہ ریاضی جو آپ پہلے سے کھیلتے ہیں

شطرنج کا کھلاڑی ہر چال پر ریاضی کرتا ہے، اسے یہ نام دیے بغیر۔ یہ ہیں وہ چھ خیالات جن پر یہ مضمون کھڑا ہے، ہر ایک ویسا جیسا آپ اسے بورڈ سے پہلے سے جانتے ہیں، اور وہ نام جو ریاضی دان اسے دیتے ہیں۔ حصہ دوم یہی نام استعمال کرتا ہے۔

• چال ایک ویکٹر ہے۔ “دو اوپر اور ایک دائیں” کسی بھی خانے سے گھوڑے کی وہی چھلانگ ہے۔ چال خانوں کا جوڑا نہیں بلکہ ایک سرکاؤ ہے: کتنا پہلو میں اور کتنا اوپر۔ اعداد کے جوڑے (1, 2) کی صورت میں لکھی جائے تو اسے ویکٹر کہتے ہیں۔
• چالیں جمع ہوتی ہیں۔ لگاتار دو چھلانگیں کسی بھی ترتیب میں ایک ہی خانے پر پہنچتی ہیں۔ ہر چال وہی چال الٹی چلنے سے مٹ جاتی ہے، اور اپنی جگہ کھڑے رہنا “کچھ نہیں” والی چال ہے۔ ان اصولوں والی چالیں وہ بناتی ہیں جسے ریاضی دان گروپ کہتے ہیں۔
• تشاکل۔ دوسری طرف کا مات کا نمونہ آپ اسی نمونے کے عکس کے طور پر پہچان لیتے ہیں۔ بورڈ کو گھمانا یا الٹنا، جس سے مہروں کی چال نہ بدلے، ایک تشاکل ہے؛ مربع کے آٹھ ہیں، اور وہ بھی ایک گروپ بناتے ہیں، جسے D₄ کہتے ہیں۔
• چالوں کے خاندان۔ چالوں کو اس لحاظ سے بانٹنا کہ گھماؤ یا عکس کن کو ایک دوسرے میں بدلتا ہے، سیدھے، ترچھے اور ٹیڑھے خاندان دیتا ہے۔ ریاضی دان ایسے خاندانوں کو مدار کہتے ہیں، اور “ایک ہی خاندان” والے اصول کو معادلت۔
• ملاپ گننا۔ تین چالیں، ہر ایک مہرے میں ہے یا نہیں: 2 · 2 · 2 = 8، خالی والا نکال کر۔ تمام ملاپ، ہر ایک ان سے جڑا جن سے وہ بڑھتا ہے، شکل 1 کی تصویر بناتے ہیں، جسے جالی کہتے ہیں۔
• جفت و طاق۔ اونٹ اپنا رنگ کبھی نہیں چھوڑتا، اور گھوڑا ہر چھلانگ پر رنگ بدلتا ہے۔ یہ صرف دو جوابوں، جفت اور طاق، والا حساب ہے، جسے ماڈیولو 2 گننا کہتے ہیں۔ یہ سمجھانے میں مدد دیتا ہے کہ آرچ بشپ اپنے بادشاہ کے ساتھ مات کیوں دے سکتا ہے جبکہ نہ اونٹ نہ گھوڑا دے سکتا ہے۔

اس میں سے کچھ بھی شطرنج کے کھلاڑی کے لیے نیا نہیں؛ بس اسے نام ملتے ہیں۔ ناموں کے ساتھ Maharajah کے مہروں کا انتخاب ذوق کا معاملہ نہیں رہتا اور ایسی چیز بن جاتا ہے جسے جانچا جا سکتا ہے۔

چار حیران کن نتائج

ہم نے کمپیوٹر سے بادشاہ اور ایک مہرہ بمقابلہ اکیلا بادشاہ کا ہر اختتام حل کروایا۔ چار نتائج نمایاں ہیں۔

1. ایک مہرے میں اونٹ اور گھوڑا مات دے سکتے ہیں۔ نہ اونٹ نہ گھوڑا اپنے بادشاہ کے ساتھ زبردستی مات دے سکتا ہے۔ آرچ بشپ، جو دونوں ہے، ہر پوزیشن سے مات دیتا ہے۔
2. چالیں ٹھیک ٹھیک جمع ہوتی ہیں۔ خالی بورڈ پر اونٹ کی اوسطاً 8.75 چالیں ہوتی ہیں اور گھوڑے کی 5.25۔ آرچ بشپ کی 14.00 ہیں، ٹھیک مجموعہ اور رخ کے برابر، کیونکہ گھوڑا کبھی اس خانے پر نہیں کودتا جہاں اونٹ پہنچ سکتا ہو۔
3. مہاراجہ تیز ہے۔ اپنے بادشاہ کے ساتھ وہ اکیلے بادشاہ کو کسی بھی پوزیشن سے زیادہ سے زیادہ 4 چالوں میں مات دیتا ہے۔ وزیر کو 10 تک چاہییں۔
4. رنگ فیصلہ کرتا ہے۔ کوئی ایسا مہرہ جس کی ہر چال خانے کا رنگ بدلتی ہے، اکیلے مات نہ دے سکا، گھوڑا بھی ان میں ہے۔ یہ 18 مہروں میں دیکھا گیا نمونہ ہے، ثبوت نہیں۔

پورے جدول حصہ دوم میں ہیں، حسابات کیا دکھاتے ہیں کے تحت۔

کیا دعویٰ ہے اور کیا نہیں

دعویٰ: Maharajah کے تین نئے مہرے ٹھیک رخ، اونٹ اور گھوڑے کی چالوں کے وہ ملاپ ہیں جو شطرنج نے چھوڑ دیے۔

دعویٰ نہیں: کہ یہی واحد ممکن نئے مہرے ہیں (بورڈ ایک ٹریلین سے زیادہ متشاکل مہروں کی گنجائش رکھتا ہے)، یا کہ جیومیٹری طے کرتی ہے کہ کھیل میں مہرہ کتنا طاقتور ہے۔ حصہ دوم ثبوت اور حدود پوری طرح دیتا ہے۔

سوال

Maharajah شطرنج کے چھ مہروں میں تین مہرے شامل کرتا ہے۔ مہاراجہ وزیر اور گھوڑے کی طرح چلتا ہے، چانسلر رخ اور گھوڑے کی طرح، آرچ بشپ اونٹ اور گھوڑے کی طرح۔ فطری سوال یہ ہے: یہی تین کیوں؟ کیا یہ انتخاب سیکڑوں تخیلاتی شطرنج کی اقسام کی طرح من مانا ہے، یا کوئی چیز اسے طے کرتی ہے؟

ذوق کے بجائے ثبوت سے جواب دینے کے لیے ہم چالوں کو ریاضی کی زبان میں لکھتے ہیں: ایک جالی پر ویکٹروں کی صورت میں، جنہیں مربع کا تشاکلی گروپ ترتیب دیتا ہے۔ تب «کون سے مہرے غائب ہیں» کا سوال ایک محدود مجموعے کا سوال بن جاتا ہے، اور محدود مجموعے کو پورا جانچا جا سکتا ہے۔

چال ایک ویکٹر ہے

فرض کریں ایک مہرا خانے (x, y) پر ہے۔ ایک چال اسے (x + dx, y + dy) پر لے جاتی ہے۔ جوڑے (dx, dy) کو ہم چال ویکٹر کہتے ہیں۔ مہرا کسی ویکٹر کو دو طرح استعمال کر سکتا ہے:

• چھلانگ: ویکٹر کے برابر ایک قدم، درمیان میں جو بھی ہو (گھوڑا)؛
• پھسلنا: وہی قدم دہراتے رہنا جب تک خانہ خالی ہو (رخ اور اونٹ)۔

8×8 بورڈ پر dx اور dy دونوں −7 اور 7 کے درمیان ہوتے ہیں، اس لیے 15 × 15 − 1 = 224 غیر صفر ویکٹر ہیں۔ بورڈ جتنی چالوں کی اجازت دیتا ہے، وہ سب یہی ہیں۔ شکل 3 ان میں سے ہر ایک دکھاتی ہے: مرکز مہرے کا خانہ ہے، ہر خلیہ ایک ویکٹر ہے۔ کسی بھی خلیے پر ٹیپ کریں اور اس کی سمت اور اسے استعمال کرنے والے مہرے دیکھیں۔

8 نہیں، 15 کیوں: ویکٹر اس پر منحصر نہیں کہ مہرہ کہاں کھڑا ہے۔ a کالم سے مہرہ دائیں طرف زیادہ سے زیادہ 7 کالم جا سکتا ہے، dx = +7 (a → h)؛ h کالم سے بائیں طرف زیادہ سے زیادہ 7، dx = −7 (h → a)۔ درمیان کی ہر قیمت بھی ممکن ہے، اور 0 بھی، اس لیے dx کی 7 + 1 + 7 = 15 قیمتیں ہیں، اور dy کی بھی۔ یوں 15 × 15 کا جال بنتا ہے جس کے مرکز میں مہرہ ہے؛ صرف ایک ویکٹر (0, 0) نکالا جاتا ہے، یعنی اپنی جگہ کھڑے رہنا۔ کسی ایک خانے سے ان میں سے صرف 63 ویکٹر بساط پر رہتے ہیں (ہر دوسرے خانے کے لیے ایک)، مگر کون سے 63، یہ خانے پر منحصر ہے: کونے میں سب ایک طرف اشارہ کرتے ہیں، مرکز میں ہر سمت۔

چالیں جمع ہوتی ہیں: یکے بعد دیگرے کی گئی دو چالیں ایک ہی چال ہیں، (dx₁, dy₁) + (dx₂, dy₂) = (dx₁ + dx₂, dy₁ + dy₂)۔ اس جمع کے ساتھ ویکٹر جمعی گروپ ℤ² بناتے ہیں: دو ویکٹروں کا مجموعہ پھر ایک ویکٹر ہے، ترتیب اہم نہیں (v + w = w + v)، (0, 0) صفر ہے، اور ہر ویکٹر v کا ایک الٹ −v ہے جس کے لیے v + (−v) = 0۔ 15 × 15 کا جال اس گروپ کی ایک کھڑکی ہے، خود کوئی گروپ نہیں: (7, 0) + (7, 0) = (14, 0) بساط پر نہیں سماتا۔

سادہ الفاظ میں: “دو اوپر، پھر ایک دائیں” اور “ایک دائیں، پھر دو اوپر” ایک ہی خانے پر ختم ہوتے ہیں؛ اپنی جگہ کھڑے رہنا صفر چال ہے؛ اور ہر چال اسی چال کو الٹی سمت چلنے سے منسوخ ہو جاتی ہے۔

مربع کی تشاکل

بورڈ کو 90° گھمائیں یا آئینے میں الٹ دیں، رخ رخ ہی رہتا ہے اور گھوڑا گھوڑا۔ مربع کی ایسی آٹھ تبدیلیاں ہیں: چار گردشیں اور چار انعکاس۔ مل کر یہ ڈائی ہیڈرل گروپ D₄ بناتی ہیں، جو مربع کا تشاکلی گروپ ہے۔ جس مہرے کے اصول اس پر منحصر نہیں کہ بورڈ کیسے گھمایا گیا ہے (پیادے کے سوا ہر روایتی مہرا)، اس میں ہر ویکٹر کے ساتھ D₄ کے تحت اس کے تمام عکس بھی ہوتے ہیں۔

ہر تشاکل ایک عددی میٹرکس ہے جو چال کے ویکٹروں پر عمل کرتا ہے: چوتھائی گردش (x, y) کو (−y, x) میں لے جاتی ہے، ترچھی لکیر میں انعکاس (x, y) کو (y, x) میں۔ اس لیے تشاکلات جمع کو برقرار رکھتی ہیں، g(v + w) = g(v) + g(w): دو چالوں کے بعد بورڈ گھمانا ویسا ہی ہے جیسے ہر چال کو گھما کر انھیں جمع کرنا۔ گروپوں کی زبان میں D₄، ℤ² پر عمل کرتا ہے اور ہر تشاکل ℤ² کا آٹومورفزم ہے۔ آدھی گردش ہر v کو −v میں لے جاتی ہے، اس لیے متشاکل مہرے کے پاس ہر چال کے ساتھ واپسی کی چال بھی ہمیشہ ہوتی ہے۔

دو ویکٹروں کو معادل کہیں اگر کوئی تشاکل ایک کو دوسرے میں بدل دے۔ یہ معادلت کا رشتہ ہے، اور گروپ کے تین اصول ہی اسے ایسا بناتے ہیں: ہر ویکٹر اپنے آپ کا معادل ہے (شناختی تشاکل)، رشتہ دونوں طرف چلتا ہے (ہر تشاکل کو الٹا جا سکتا ہے)، اور یہ زنجیر بناتا ہے (لگاتار دو تشاکلات پھر ایک تشاکل ہیں)۔ اس کے درجے ویکٹروں کو ایسے خاندانوں میں بانٹتے ہیں جو ایک دوسرے سے نہیں ملتے۔

ایک ویکٹر کے تمام عکسوں کا مجموعہ اس کا مدار ہے، اور مدار یہی درجے ہیں۔ مدار اور ساکن کنندہ کا مسئلہ اس کا سائز دیتا ہے: |مدار| = 8 / |ساکن کنندہ|، جہاں ساکن کنندہ وہ تشاکلات ہیں جو ویکٹر کو اپنی جگہ رہنے دیتی ہیں۔ سیدھی یا ترچھی لکیر پر واقع ویکٹر ایک انعکاس سے نہیں بدلتا، اس لیے اس کے مدار میں 4 سمتیں ہیں۔ گھوڑے جیسے کج ویکٹر کو کوئی تشاکل نہیں رکھتی، اس لیے اس کی 8 سمتیں ہیں۔

سادہ الفاظ میں: رخ کا قدم (1, 0) لیجیے۔ بورڈ کو 90° گھمانے سے (0, 1)، (−1, 0) اور (0, −1) ملتے ہیں، مگر بورڈ کو اوپر نیچے پلٹنے سے (1, 0) اپنی جگہ رہتا ہے، اس لیے آٹھ تشاکلات چاروں سمتوں میں سے ہر ایک کو دو بار دیتے ہیں۔ گھوڑے کے قدم (2, 1) میں ایسا کوئی تشاکل نہیں: آٹھوں مختلف ویکٹر دیتے ہیں، جو نیچے درج ہیں۔

7، 7 اور 21 کہاں سے آتے ہیں۔ ایک مدار (orbit) اپنی دو قدم کی لمبائیوں سے طے ہوتا ہے، علامت کے بغیر۔ لکیر کا مدار (a, 0) ہے جہاں a ایک سے سات تک ہے: 7 مدار، ہر ایک میں 4 ویکٹر، (±a, 0) اور (0, ±a)۔ وتر کا مدار (a, a) ہے: پھر 7 مدار، ہر ایک میں 4، (±a, ±a)۔

ترچھا مدار ایک سے سات تک کے دو مختلف اعداد کا جوڑا ہے، اور ان کی ترتیب اہم نہیں: (2, 1) اور (1, 2) ایک ہی مدار میں ہیں۔ ایسے 7 · 6 / 2 = 21 جوڑے ہیں، {2, 1}، {3, 1}، {3, 2}، {4, 1} … {7, 6}، اور ہر مدار میں 8 ویکٹر ہیں: 2 ترتیبیں × 4 علامتوں کے امتزاج۔ مثال کے طور پر گھوڑے کا مدار (2, 1) (1, 2) (−1, 2) (−2, 1) (−2, −1) (−1, −2) (1, −2) (2, −1) ہے۔ جانچ: 7 + 7 + 21 = 35 مداروں میں 28 + 28 + 168 = 224 ویکٹر۔ سادہ الفاظ میں، سمت کو نظرانداز کریں تو 35 مختلف چالیں ہیں: رخ کے لیے 7 لمبائیاں، اونٹ کے لیے 7 اور گھوڑے جیسی 21 شکلیں۔

یہی گنتی ایک بھی مدار گنوائے بغیر نکلتی ہے۔ برن سائیڈ کا لیما کہتا ہے کہ مداروں کی تعداد ان ویکٹروں کی اوسط تعداد ہے جنھیں ایک تشاکل اپنی جگہ رہنے دیتی ہے۔ صفر سمیت پورا 15 × 15 کا جال لیجیے: شناختی تشاکل تمام 225 ویکٹروں کو اپنی جگہ رکھتی ہے، تین گردشوں میں سے ہر ایک صرف (0, 0) کو، اور چار انعکاسوں میں سے ہر ایک اپنے محور کے 15 ویکٹروں کو۔ یوں مداروں کی تعداد (225 + 3 · 1 + 4 · 15) / 8 = 288 / 8 = 36 ہے: 35 سمتیں اور صفر ویکٹر، جو اپنے مدار میں اکیلا ہے۔

بنیادی چالیں ٹھیک تین کیوں۔ ایک غیر صفر ویکٹر کو یا تو مربع کے اضلاع سے گزرنے والے محور میں انعکاس اپنی جگہ رکھتا ہے (سیدھی لکیر کے ویکٹر)، یا ترچھی لکیر میں انعکاس (ترچھے ویکٹر)، یا شناخت کے سوا کوئی تشاکل نہیں (کج ویکٹر)۔ اس لیے سمتوں کی تین قسمیں ہیں، اس سے زیادہ نہیں۔ ہر قسم کا سب سے چھوٹا ویکٹر (1, 0)، (1, 1) اور (2, 1) ہے: رخ کا قدم، اونٹ کا قدم اور گھوڑے کی چھلانگ۔ شطرنج اپنے دور مار مہرے ہر قسم کے سب سے چھوٹے رکن سے بناتی ہے، اس لیے ان تینوں کو ذوق نہیں، جیومیٹری چنتی ہے۔

بندش کا مسئلہ

شطرنج کی تین لمبی چالوں کو یوں لکھیں: R، سیدھی لکیر پر پھسلنا؛ B، ترچھی لکیر پر پھسلنا؛ N، گھوڑے کی چھلانگ۔ دو مہروں کا اتحاد X ∨ Y وہ مہرا ہے جو X یا Y کی طرح چل سکے۔ وزیر پہلی مثال ہے: Q = R ∨ B۔ اتحاد تلازمی، مبادلی اور خودتوانی ہے، اس لیے ان تین چالوں سے بنے مہرے {R, B, N} کے ذیلی مجموعوں کی بولین جالی بناتے ہیں۔

سادہ الفاظ میں: اتحاد میں ترتیب اہم نہیں (R ∨ N وہی مہرا ہے جو N ∨ R)، اور وہ چال جو مہرے کے پاس پہلے سے ہے، اسے جوڑنے سے کچھ نہیں بدلتا (R ∨ R = R)۔ اس لیے R، B اور N سے بنا مہرا پوری طرح اس سے طے ہوتا ہے کہ تینوں میں سے کون سی چالیں اس کے پاس ہیں۔

اتحاد گروپ کا عمل نہیں ہے۔ چالیں جمع ہو کر گروپ بناتی ہیں، مگر مہروں کے اتحاد کا کوئی الٹ نہیں: ایک بار شامل کی گئی چال کسی دوسرے اتحاد سے ہٹائی نہیں جا سکتی۔ اسی لیے مہرے جالی بناتے ہیں، گروپ نہیں۔ گروپ طے کرتا ہے کہ مہرے کس چیز سے بنتے ہیں؛ اتحاد طے کرتا ہے کہ وہ کیسے ملتے ہیں۔

یہی گنتی علامتوں کے بغیر: R، B اور N میں سے ہر ایک یا تو مہرے میں ہے یا نہیں، اس سے 2 · 2 · 2 = 8 امتزاج بنتے ہیں۔ ان میں سے ایک میں کچھ نہیں اور وہ مہرا نہیں، اس لیے 7 بچتے ہیں۔ شکل 1 اور پہلے حصے کا جدول ساتوں دکھاتے ہیں۔

دو نتائج۔ پہلا، Maharajah کوئی نئی سمت نہیں لاتا: اس کے تمام مہرے 35 میں سے وہی تین مدار استعمال کرتے ہیں جو روایتی شطرنج کرتی ہے۔ دوسرا، مجموعہ کم سے کم ہے۔ تین نئے مہروں میں سے کسی ایک کے بغیر یہ بند نہیں رہتا، اور کوئی بھی دوسرا مہرا شامل کرنے سے نئی چال آ جاتی۔

روایتی شطرنج اتحاد کو ایک اصول کے طور پر مانتی ہے (وزیر)، مگر اسے تین میں سے صرف ایک جوڑے پر لاگو کرتی ہے۔ Maharajah یہی اصول ہر جوڑے اور تینوں پر لاگو کرتا ہے۔

کتنے مہرے ممکن ہیں

متشاکل مہرا اس سے طے ہوتا ہے کہ وہ 35 مداروں میں سے ہر ایک کے ساتھ کیا کرتا ہے: اسے نظرانداز کرتا ہے، اس پر چھلانگ لگاتا ہے، یا اس پر پھسلتا ہے۔ پھسلنا چھلانگ سے صرف تب مختلف ہے جب بورڈ پر کم از کم دو قدم سما سکیں، یعنی جب 2·max(|dx|, |dy|) ≤ 7۔ یہ ٹھیک 9 مداروں پر صادق آتا ہے، جن کی لمبائی 3 تک ہے۔ باقی 26 کے پاس صرف دو اختیار ہیں۔

پھسلنے کے لیے 2·max(|dx|, |dy|) ≤ 7 کیوں ضروری ہے: پھسلنے والا مہرا ایک ہی قدم بار بار دہراتا ہے، اس لیے اس کا دوسرا قدم دگنے فاصلے پر پڑتا ہے۔ (3, 0) پر a کالم کا مہرا d تک، پھر g تک پہنچتا ہے: دو قدم سما جاتے ہیں۔ (4, 0) پر دوسرے قدم کو 8 کالم چاہییں، مگر بورڈ زیادہ سے زیادہ 7 دیتا ہے، اس لیے “(4, 0) پر پھسلنا” اور “(4, 0) پر چھلانگ” ایک ہی مہرا ہے۔ لمبائی کا کالم مداروں کو بڑے کوآرڈینیٹ سے گنتا ہے: لمبائی L کے L + 1 مدار ہیں، (L, 0), (L, 1) … (L, L)۔ اس لیے لمبائی 1 سے 3 تک 2 + 3 + 4 = 9 مدار دیتی ہے، اور 4 سے 7 تک 5 + 6 + 7 + 8 = 26۔

یہ انتخاب ایک دوسرے سے آزاد ہیں، اس لیے ضرب ہوتے ہیں۔ تین تین اختیارات والے صرف دو مدار ہی 3 · 3 = 9 امتزاج دیتے ہیں۔ تمام 35 کے لیے: چھوٹے مداروں کے 3⁹ = 19,683 ضرب لمبے مداروں کے 2²⁶ = 67,108,864۔ ایک امتزاج ہر مدار کو نظرانداز کرتا ہے: ایسا “مہرا” جو چل ہی نہیں سکتا۔ اسی لیے 1 منہا کیا جاتا ہے۔

تو 8×8 بورڈ پر ٹھیک 3⁹ · 2²⁶ − 1 = 1,320,903,770,111 متشاکل مہرے ممکن ہیں، 1.3 ٹریلین سے زیادہ۔ اس گنتی میں وہ مہرے شامل نہیں جو صرف آگے چلتے ہیں (پیادہ، شوگی کے مہرے)، جو دوسروں کے اوپر سے کودتے ہیں (ٹڈا، شیانگچی کی توپ) اور جن کا راستہ روکا جا سکتا ہے (شیانگچی کا گھوڑا)۔ نتیجہ سادہ ہے: کوئی بھی مہرا مجموعہ تمام ممکنہ مہروں میں «مکمل» نہیں ہو سکتا۔ مکمل ہونے کا مطلب صرف کسی چنی ہوئی بنیاد کے لحاظ سے ہے۔

وسیع تر بنیاد: 17 مہرے

اگر بنیاد میں چھوٹے قدم بھی ہوں تو؟ سیدھی لکیر پر مہرے کے پاس کچھ نہ ہو، قدم W یا پھسلنا R؛ ترچھی لکیر پر کچھ نہیں، قدم F یا پھسلنا B؛ اور گھوڑا ہو یا نہ ہو۔ اس سے 3 · 3 · 2 − 1 = 17 مہرے بنتے ہیں۔ روایتی شطرنج میں ان میں سے 5 ہیں (بادشاہ صرف شاہی مہرے کے طور پر)، Maharajah میں 8۔ باقی نو دوسری روایات سے معروف ہیں: شترنج کا فرز، شوگی کے ڈریگن، تخیلاتی مہرے۔

گنتی “کتنے مہرے ممکن ہیں” کی طرح ہی ہے: لکیروں پر 3 انتخاب × وتروں پر 3 × گھوڑے کے لیے 2 = 18، اور وہ ایک امتزاج جس میں کچھ نہیں، مہرا نہیں۔

معروف مہروں کا اٹلس

نیچے شطرنج، Maharajah، شترنج (قدیم فارسی کھیل جس سے شطرنج نکلی)، شیانگچی (چینی شطرنج)، شوگی (جاپانی شطرنج) اور تخیلاتی شطرنج کے 31 مہرے ہیں۔ ہر چھوٹی تصویر خالی بورڈ پر d4 سے چالیں دکھاتی ہے۔ کسی مہرے پر ٹیپ کریں تو وہ بڑے بورڈ پر کھلے گا۔ وہاں آپ کسی خانے پر ٹیپ کر کے اسے ہلا سکتے ہیں اور ہیٹ میپ چلا سکتے ہیں کہ ہر خانے سے اس کی کتنی چالیں ہیں۔

حسابات کیا دکھاتے ہیں

ہر مہرے کے لیے ہم نے خالی بورڈ پر اس کی حرکت پذیری گنی اور ہر پوزیشن شمار کر کے «بادشاہ اور مہرا بمقابلہ اکیلا بادشاہ» آخری کھیل حل کیا (چال والے ہر فریق کے لیے تقریباً 2 لاکھ 62 ہزار)۔ حل کنندہ معروف نتائج پر جانچا گیا ہے: وزیر سے سب سے لمبی مات 10 چالوں میں اور رخ سے 16 میں آتی ہے، جیسے اینڈگیم ٹیبل بیس میں۔

262 ہزار کہاں سے آتے ہیں: سفید بادشاہ، سیاہ بادشاہ اور سفید مہرا، ہر ایک 64 میں سے کسی بھی خانے پر کھڑا ہو سکتا ہے، اور 64 · 64 · 64 = 262,144۔ جن ترتیبوں میں دو ایک ہی خانے پر ہوں یا بادشاہ ساتھ ساتھ ہوں، وہ غیر قانونی ہیں اور چھوڑ دی جاتی ہیں۔

اوسط: 64 خانوں پر چالوں کی اوسط تعداد۔ کونا اور مرکز: ایک خانے سے سب سے کم اور سب سے زیادہ چالیں۔ قطر: دو خانوں کے درمیان درکار سب سے زیادہ چالیں۔ یقینی جیت: ان پوزیشنوں کا حصہ (سفید کی چال) جہاں مات لازمی ہے۔ سب سے لمبی مات: چالوں میں، دونوں فریقوں کے بہترین کھیل کے ساتھ۔ Maharajah کے مہرے نمایاں ہیں۔

Betza خیالی مہروں کی چالوں کا معیاری مختصر طریقۂ تحریر ہے۔ W لکیر پر ایک قدم، F وتر پر ایک قدم، N گھوڑے کی چھلانگ، K = W + F بادشاہ کا قدم؛ R، B اور Q پھسلتے ہیں، اور دہرا حرف بھی پھسلتا ہے (NN، نائٹ رائیڈر)۔ حروف ملتے ہیں: RN رخ کی طرح بھی چلتا ہے اور گھوڑے کی طرح بھی۔ پیادے کے mfWcfF میں m کا مطلب صرف چلنا، c صرف مارنا، f آگے۔

چار نتائج جو صرف جیومیٹری سے نکلتے ہیں:

1. حرکت پذیری ٹھیک ٹھیک جمع ہوتی ہے۔ گھوڑے کا ویکٹر کسی سیدھے یا ترچھے ویکٹر کا ضعف نہیں، اس لیے گھوڑے کے خانے کبھی پھسلنے والے مہرے کے خانوں سے نہیں ملتے: A = B + N = 8.75 + 5.25 = 14.00، بالکل رخ جتنا۔
2. اتحاد وہ کر سکتا ہے جو کوئی حصہ نہیں کر سکتا۔ نہ اونٹ نہ گھوڑا اکیلے مات دے سکتا ہے؛ آرچ بشپ کسی بھی پوزیشن سے مات دیتا ہے۔ وجہ خانوں کا رنگ ہے (شکل 6)۔
3. مہاراجہ زیادہ سے زیادہ 4 چالوں میں مات دیتا ہے، کسی بھی پوزیشن سے؛ وزیر کو 10 تک چاہییں۔
4. جفتیت۔ کوئی بھی مہرا جس کی ہر چال خانے کا رنگ بدلتی ہو (W، N، W+N، نائٹ رائیڈر) اکیلے مات نہیں دے سکتا۔ یہ 18 مہروں پر دیکھا گیا رجحان ہے، ثبوت نہیں۔

سادہ الفاظ میں: کالموں اور قطاروں کو 1 سے 8 تک نمبر دیں اور دونوں اعداد جمع کریں۔ گہرے خانوں کا مجموعہ جفت ہوتا ہے، ہلکے خانوں کا طاق۔ اونٹ کی چال مجموعے کو جفت عدد سے بدلتی ہے، اس لیے اونٹ کبھی رنگ نہیں بدلتا۔ گھوڑے کی چال اسے 1 یا 3 سے بدلتی ہے، جو طاق ہے، اس لیے گھوڑا ہر چال پر رنگ بدلتا ہے۔ آرچ بشپ کے پاس دونوں چالیں ہیں اور وہ کسی بھی خانے تک پہنچ سکتا ہے، اسی لیے وہ مات دے سکتا ہے جبکہ اونٹ اور گھوڑا اکیلے نہیں۔

دعوے کی حدود

تاکہ نتیجہ اس سے زیادہ وسیع نہ پڑھا جائے جتنا وہ ثابت ہے:

• ہر ممکن مہرا نہیں۔ Maharajah میں 1.3 ٹریلین سے زیادہ متشاکل مہروں میں سے 7 ہیں۔ یہ بنیاد {R, B, N} پر اتحاد کے تحت مکمل ہے، یعنی شطرنج کی اپنی لمبی چالوں کے لحاظ سے۔
• گھوڑے کا پھسلنا۔ سیدھی اور ترچھی لکیر کے لیے شطرنج میں قدم (بادشاہ) اور پھسلنا (رخ، اونٹ) دونوں ہیں؛ گھوڑے کے لیے صرف چھلانگ ہے۔ نائٹ رائیڈر، جو گھوڑے کے ویکٹر پر پھسلتا ہے، نہ شطرنج میں ہے نہ Maharajah میں۔
• دوسری قسم کے مہرے، جو صرف آگے چلتے ہیں، دوسرے مہروں کے اوپر سے کودتے ہیں یا جن کا راستہ روکا جا سکتا ہے، اس ماڈل سے باہر ہیں۔
• طاقت اور قدر۔ جیومیٹری یہ طے نہیں کرتی کہ کھیل میں مہرے کی قدر کتنی ہے۔ یہ انجن سے ناپنے کا سوال ہے، اس مضمون کا نہیں۔

خیال کی تاریخ

شطرنج کے مہروں کا مجموعہ ہمیشہ بڑھایا جاتا رہا ہے۔ شترنج میں وزیر کی جگہ فرز تھا، ترچھی لکیر پر ایک قدم، اور اونٹ کی جگہ الفیل، (2, 2) پر چھلانگ۔ پندرھویں صدی کے آخر میں یورپ میں ان کی جگہ جدید وزیر (R ∨ B) اور اونٹ نے لی، اور تبھی چالوں کا اتحاد شطرنج میں آیا۔

رخ اور اونٹ کو گھوڑے کے ساتھ ملانے کی تجویز کئی بار آئی: پیئترو کاریرا (1617) 10 × 8 بورڈ پر، ہنری برڈ (1874)، ہوزے راؤل کاپابلانکا (1920 کی دہائی) چانسلر اور آرچ بشپ کے ساتھ، کرسٹیان فریلنگ کا Grand Chess (1984) 10 × 10 پر، یاسر سیراوان اور بروس ہارپر کا Seirawan Chess (2007) 8 × 8 پر۔ وزیر اور گھوڑا ملا کر (ایمیزون) علاقائی اور تخیلاتی شطرنج میں ملتا ہے۔ تاریخی تاریخیں عام طور پر حوالہ دیے جانے والے ذرائع سے ہیں اور اصل ماخذ سے نہیں جانچی گئیں۔

Maharajah میں نیا مہرے بذاتِ خود نہیں، بلکہ یہ کہ ساتوں اتحاد عام 8 × 8 بورڈ پر یکجا ہیں، اور کھلاڑی ایک ہی بجٹ سے اپنی فوج بناتے ہیں۔

طریقے اور دوبارہ حصول

یہاں ہر عدد حساب سے نکلا ہے، ادب سے نہیں لیا گیا۔ kxk.c (C، تقریباً 3 سیکنڈ) حرکت پذیری، رنگ سے بندھن اور قطر گنتا ہے، اور K + X بمقابلہ K آخری کھیل کو رجعی تجزیے سے حل کرتا ہے: مات کی پوزیشنوں سے پیچھے کی طرف، ہر بار آدھی چال، یہاں تک کہ جیتی ہوئی پوزیشنوں کا مجموعہ بڑھنا بند ہو جائے۔ جائز پوزیشنوں میں بادشاہ ساتھ ساتھ نہیں ہوتے اور مہرا اپنے ہی خانے پر ہوتا ہے؛ پات برابری ہے؛ سیاہ بادشاہ غیر محفوظ مہرا مار سکتا ہے۔ اس صفحے کی چھوٹی تصویریں انہی چال تعریفوں سے بنی ہیں۔ kxk.c کا سورس کوڈ اوپر کے لنک سے براؤزر میں کھلتا ہے: اسے cc -O2 kxk.c -o kxk سے کمپائل کریں اور ./kxk چلائیں۔

نتیجہ

روایتی شطرنج اپنے لمبی چال والے مہرے تین چالوں سے بناتی ہے — سیدھی لکیر، ترچھی لکیر اور گھوڑے کی چھلانگ — اور ان کے سات اتحادوں میں سے چار استعمال کرتی ہے۔ مہاراجہ، چانسلر اور آرچ بشپ ٹھیک وہی تین ہیں جو غائب تھے۔ اس لیے Maharajah کا مہرا مجموعہ اپنی ہی چالوں کے اتحاد کے تحت شطرنج کے مجموعے کی بندش ہے۔ کچھ نیا شامل نہیں کیا گیا؛ جو وزیر نے شروع کیا تھا، وہ مکمل ہوا۔

اور ریاضی ہر وقت بورڈ پر تھی۔ ہر وہ کھلاڑی جو جانتا ہے کہ اونٹ اپنے رنگ پر رہتا ہے، کہ گھوڑے کی چھلانگ واپس لی جا سکتی ہے، یا کہ کوئی نمونہ دوسری طرف بھی ویسے ہی کام کرتا ہے، ناموں کے بغیر ویکٹر، تشاکل اور جفت و طاق استعمال کرتا آیا ہے۔

ان مہروں سے فوج آپ فوج ساز میں بنا سکتے ہیں، اور ہر مہرا کیسے چلتا ہے یہ سیکھیں میں دیکھ سکتے ہیں۔