Mengapa Maharajah punya tepat bidak-bidak ini

Jawabannya dalam satu tabel

Catur membangun bidak jarak jauhnya dari tiga langkah: garis lurus benteng (R), diagonal gajah (B), dan lompatan kuda (N). Ratu hanyalah benteng dan gajah dalam satu bidak. Tiga langkah dapat digabung tepat dengan tujuh cara, dan inilah semuanya.

Nilai: harga bidak dalam poin saat Anda menyusun pasukan di Maharajah. Harga ini ditetapkan oleh permainan, bukan diturunkan dari geometri di atas; empat bidak ortodoks tetap memakai nilai catur biasanya.

Dari mana angka tujuh: setiap dari tiga langkah itu ada di bidak atau tidak. Itu 2 · 2 · 2 = 8 gabungan, dan satu di antaranya, tanpa langkah sama sekali, bukan bidak, jadi 8 − 1 = 7. Pada gambar di bawah, setiap garis berarti “tambah satu langkah lagi”.

Mengapa tiga langkah ini

Putar papan seperempat putaran, atau lihat di cermin. Benteng tetap melangkah seperti benteng dan kuda seperti kuda: bidak tidak peduli ke mana papan menghadap. Putaran atau pencerminan seperti itu disebut simetri, dan persegi punya delapan. Tombol di bawah Gambar 2 memungkinkan Anda mencoba tiga di antaranya.

Simetri memilah semua langkah yang mungkin ke dalam keluarga. Langkah lurus tetap lurus, langkah diagonal tetap diagonal, dan langkah lain, yang tidak lurus dan tidak diagonal, tetap miring. Tidak ada keluarga keempat. Langkah terpendek tiap keluarga adalah satu petak lurus, satu petak diagonal, dan “dua dan satu”: langkah benteng, langkah gajah, dan lompatan kuda.

Jadi benteng, gajah, dan kuda bukan tiga temuan acak. Masing-masing adalah langkah paling sederhana dari satu-satunya tiga keluarga yang dimiliki persegi. Matematikawan menyebut keluarga ini orbit.

Ratu yang memulai

Sekitar lima ratus tahun lalu catur mengambil langkah yang kini dianggap biasa oleh setiap pemain: memberi satu bidak langkah dua bidak. Ratu adalah benteng dan gajah sekaligus. Begitu itu diizinkan, tiga gabungan lagi menunggu: benteng dan kuda, gajah dan kuda, serta ketiganya sekaligus. Catur tidak pernah membuatnya. Maharajah membuatnya: Kanselir, Uskup Agung, dan Maharaja.

Tidak ada jenis langkah baru di sini. Setiap langkah setiap bidak Maharajah adalah langkah yang sudah dilakukan suatu bidak ortodoks.

Matematika yang sudah Anda mainkan

Pemain catur bermatematika di setiap langkah tanpa menyebutnya begitu. Inilah enam gagasan yang menjadi dasar artikel ini, masing-masing seperti yang sudah Anda kenal dari papan, beserta nama yang diberikan matematikawan. Bagian dua memakai nama-nama ini.

• Langkah adalah vektor. “Dua ke atas dan satu ke kanan” adalah lompatan kuda yang sama dari petak mana pun. Langkah bukan sepasang petak, melainkan pergeseran: seberapa jauh ke samping dan seberapa jauh ke atas. Ditulis sebagai sepasang angka, (1, 2), ia disebut vektor.
• Langkah bisa dijumlahkan. Dua lompatan berturut-turut berakhir di petak yang sama dalam urutan mana pun. Setiap langkah dibatalkan oleh langkah yang sama ke belakang, dan diam di tempat adalah langkah “tidak ada”. Langkah dengan aturan ini membentuk apa yang disebut matematikawan grup.
• Simetri. Anda mengenali pola mat di sayap lain sebagai pola yang sama, dicerminkan. Memutar atau mencerminkan papan tanpa mengubah cara bidak melangkah adalah simetri; persegi punya delapan, dan semuanya juga membentuk grup, yang disebut D₄.
• Keluarga langkah. Memilah langkah menurut mana yang diubah satu sama lain oleh putaran atau cermin menghasilkan keluarga lurus, diagonal, dan miring. Matematikawan menyebut keluarga seperti itu orbit, dan aturan “satu keluarga” disebut ekuivalensi.
• Menghitung gabungan. Tiga langkah, masing-masing ada di bidak atau tidak: 2 · 2 · 2 = 8, dikurangi yang kosong. Semua gabungan, masing-masing dihubungkan dengan gabungan asalnya, membentuk gambar di Gambar 1, yang disebut kisi.
• Paritas. Gajah tidak pernah meninggalkan warnanya, dan kuda berganti warna di setiap lompatan. Itu aritmetika dengan hanya dua jawaban, genap dan ganjil, yang disebut berhitung modulo 2. Ini membantu menjelaskan mengapa Uskup Agung bisa mematikan bersama rajanya, sedangkan gajah maupun kuda tidak bisa.

Tidak ada yang baru bagi pemain catur; semuanya hanya mendapat nama. Dengan nama-nama itu, pilihan bidak Maharajah bukan lagi soal selera dan menjadi sesuatu yang bisa diperiksa.

Empat hasil mengejutkan

Kami meminta komputer menyelesaikan setiap akhir permainan raja dan satu bidak melawan raja sendirian. Empat hasil menonjol.

1. Gajah dan kuda dalam satu bidak bisa mematikan. Gajah maupun kuda tidak bisa memaksa mat bersama rajanya. Uskup Agung, yang adalah keduanya, mematikan dari posisi mana pun.
2. Langkah bertambah tepat. Di papan kosong gajah punya rata-rata 8,75 langkah dan kuda 5,25. Uskup Agung punya 14,00, tepat jumlahnya dan sama dengan benteng, karena kuda tidak pernah melompat ke petak yang bisa dicapai gajah.
3. Maharaja itu cepat. Bersama rajanya ia mematikan raja sendirian paling lama dalam 4 langkah dari posisi mana pun. Ratu butuh hingga 10.
4. Warna menentukan. Tidak ada bidak yang setiap langkahnya mengubah warna petak bisa mematikan sendirian, kuda termasuk. Ini pola yang terlihat pada 18 bidak, bukan bukti.

Tabel lengkapnya ada di bagian dua, di Apa yang ditunjukkan perhitungan.

Apa yang diklaim dan tidak

Diklaim: tiga bidak baru Maharajah tepat merupakan gabungan langkah benteng, gajah, dan kuda yang dilewatkan catur.

Tidak diklaim: bahwa itulah satu-satunya bidak baru yang mungkin (papan memungkinkan lebih dari satu triliun bidak simetris), atau bahwa geometri menentukan seberapa kuat bidak dalam permainan. Bagian dua memberikan bukti dan batasannya secara lengkap.

Pertanyaannya

Maharajah menambahkan tiga bidak pada enam bidak catur. Maharaja melangkah seperti ratu dan kuda, Kanselir seperti benteng dan kuda, Uskup Agung seperti gajah dan kuda. Pertanyaan wajarnya: mengapa tiga ini? Apakah pilihannya sembarang seperti pada ratusan varian catur fantasi, atau ditentukan oleh sesuatu?

Agar jawabannya berupa bukti dan bukan selera, kami menggambarkan langkah secara matematis, sebagai vektor pada kisi yang diatur oleh grup simetri persegi. Pertanyaan «bidak mana yang hilang» lalu menjadi pertanyaan tentang himpunan berhingga, dan himpunan berhingga bisa diperiksa seluruhnya.

Langkah adalah vektor

Misalkan sebuah bidak berdiri di petak (x, y). Satu langkah membawanya ke (x + dx, y + dy). Pasangan (dx, dy) kami sebut vektor langkah. Bidak dapat memakai vektor dengan dua cara:

• lompat: satu langkah sejauh vektor, apa pun yang ada di antaranya (kuda);
• luncur: mengulang langkah yang sama selama petaknya kosong (benteng dan gajah).

Di papan 8×8, dx dan dy masing-masing berada antara −7 dan 7, jadi ada 15 × 15 − 1 = 224 vektor bukan nol. Itulah semua langkah yang diizinkan papan. Gambar 3 menunjukkan semuanya: pusat adalah petak bidak, setiap sel adalah satu vektor. Ketuk sel mana pun untuk melihat arahnya dan bidak yang memakainya.

Mengapa 15, bukan 8: vektor tidak bergantung pada letak bidak. Dari lajur a, bidak bisa bergerak paling jauh 7 lajur ke kanan, dx = +7 (a → h); dari lajur h, paling jauh 7 ke kiri, dx = −7 (h → a). Setiap nilai di antaranya juga mungkin, begitu pula 0, jadi dx punya 7 + 1 + 7 = 15 nilai, dan dy juga. Hasilnya kisi 15 × 15 dengan bidak di tengahnya; satu-satunya vektor yang dibuang adalah (0, 0), diam di tempat. Dari satu petak tertentu hanya 63 vektor ini yang tetap di papan (satu untuk setiap petak lain), tetapi 63 yang mana bergantung pada petaknya: di sudut semuanya mengarah ke satu sisi, di tengah ke segala arah.

Langkah bisa dijumlahkan: dua langkah berturut-turut adalah satu langkah, (dx₁, dy₁) + (dx₂, dy₂) = (dx₁ + dx₂, dy₁ + dy₂). Dengan penjumlahan ini vektor-vektor membentuk grup aditif ℤ²: jumlah dua vektor tetap sebuah vektor, urutannya tidak penting (v + w = w + v), (0, 0) adalah nol, dan setiap vektor v punya lawan −v dengan v + (−v) = 0. Kisi 15 × 15 adalah jendela ke grup ini, bukan grup tersendiri: (7, 0) + (7, 0) = (14, 0) sudah tidak muat di papan.

Sederhananya: “dua ke atas, lalu satu ke kanan” dan “satu ke kanan, lalu dua ke atas” berakhir di petak yang sama; diam di tempat adalah langkah nol; dan setiap langkah dibatalkan oleh langkah yang sama ke arah sebaliknya.

Simetri persegi

Putar papan 90° atau cerminkan, dan benteng tetap benteng, kuda tetap kuda. Persegi punya delapan transformasi seperti itu: empat rotasi dan empat refleksi. Bersama-sama mereka membentuk grup dihedral D₄, grup simetri persegi. Bidak yang aturannya tidak bergantung pada arah papan (semua bidak ortodoks kecuali pion) memuat, bersama setiap vektornya, semua bayangannya di bawah D₄.

Setiap simetri adalah matriks bilangan bulat yang bekerja pada vektor langkah: putaran seperempat membawa (x, y) ke (−y, x), refleksi terhadap diagonal membawa (x, y) ke (y, x). Karena itu simetri menghormati penjumlahan, g(v + w) = g(v) + g(w): memutar papan setelah dua langkah sama dengan memutar setiap langkah lalu menjumlahkannya. Dalam bahasa grup, D₄ bertindak pada ℤ² dan setiap simetri adalah automorfisme ℤ². Putaran setengah membawa setiap v ke −v, jadi bidak simetris selalu punya langkah balik untuk setiap langkahnya.

Sebut dua vektor ekuivalen jika ada simetri yang mengubah yang satu menjadi yang lain. Ini relasi ekuivalensi, dan justru tiga aturan grup yang membuatnya begitu: setiap vektor ekuivalen dengan dirinya sendiri (identitas), relasinya berlaku dua arah (setiap simetri dapat dibatalkan), dan relasinya berantai (dua simetri berturut-turut tetap sebuah simetri). Kelas-kelasnya membagi vektor menjadi keluarga yang tidak saling tumpang tindih.

Himpunan bayangan satu vektor disebut orbit-nya, dan orbit-orbit itulah kelas-kelas ini. Teorema orbit-stabilisator memberi ukurannya: |orbit| = 8 / |stabilisator|, dengan stabilisator adalah simetri yang membiarkan vektor di tempatnya. Vektor pada garis atau diagonal dipertahankan oleh satu refleksi, jadi orbitnya punya 4 arah. Vektor miring seperti milik kuda tidak dipertahankan oleh simetri apa pun, jadi orbitnya punya 8 arah.

Sederhananya: ambil langkah benteng (1, 0). Memutar papan 90° menghasilkan (0, 1), (−1, 0), dan (0, −1), tetapi membalik papan atas-bawah membiarkan (1, 0) di tempatnya, jadi delapan simetri menghasilkan masing-masing dari empat arah dua kali. Langkah kuda (2, 1) tidak punya simetri seperti itu: kedelapannya menghasilkan vektor berbeda, tercantum di bawah.

Dari mana 7, 7, dan 21. Sebuah orbit ditentukan oleh dua panjang langkahnya tanpa tanda. Orbit garis adalah (a, 0) dengan a dari 1 sampai 7: 7 orbit, masing-masing 4 vektor, (±a, 0) dan (0, ±a). Orbit diagonal adalah (a, a): lagi 7 orbit berisi 4, (±a, ±a).

Orbit miring adalah pasangan dua bilangan berbeda dari 1 sampai 7, dan urutannya tidak penting: (2, 1) dan (1, 2) ada di orbit yang sama. Ada 7 · 6 / 2 = 21 pasangan seperti itu, {2, 1}, {3, 1}, {3, 2}, {4, 1} … {7, 6}, dan setiap orbit berisi 8 vektor: 2 urutan kali 4 kombinasi tanda. Orbit kuda, misalnya, adalah (2, 1) (1, 2) (−1, 2) (−2, 1) (−2, −1) (−1, −2) (1, −2) (2, −1). Pemeriksaan: 28 + 28 + 168 = 224 vektor dalam 7 + 7 + 21 = 35 orbit. Sederhananya, 35 adalah jumlah langkah berbeda jika arah diabaikan: 7 panjang untuk benteng, 7 untuk gajah, dan 21 bentuk mirip kuda.

Hitungan yang sama keluar tanpa mendaftar satu orbit pun. Lema Burnside menyatakan bahwa banyaknya orbit adalah rata-rata banyaknya vektor yang dibiarkan di tempat oleh satu simetri. Ambil seluruh kisi 15 × 15, termasuk nol: identitas membiarkan semua 225 vektor, masing-masing dari tiga rotasi hanya membiarkan (0, 0), dan masing-masing dari empat refleksi membiarkan 15 vektor pada sumbunya. Jadi banyaknya orbit adalah (225 + 3 · 1 + 4 · 15) / 8 = 288 / 8 = 36: 35 arah dan vektor nol, sendirian di orbitnya sendiri.

Mengapa tepat tiga langkah dasar. Vektor bukan nol dibiarkan di tempat oleh refleksi terhadap sumbu yang melewati sisi persegi (vektor garis), atau oleh refleksi terhadap diagonal (vektor diagonal), atau tidak oleh simetri apa pun selain identitas (vektor miring). Jadi ada tiga jenis arah, tidak lebih. Vektor terpendek dari setiap jenis adalah (1, 0), (1, 1), dan (2, 1): langkah benteng, langkah gajah, dan lompatan kuda. Catur membangun bidak jarak jauhnya dari anggota terkecil setiap jenis, itulah sebabnya geometri, bukan selera, yang memilih ketiganya.

Teorema ketertutupan

Tuliskan tiga langkah jarak jauh catur sebagai R, meluncur sepanjang garis; B, meluncur sepanjang diagonal; N, lompatan kuda. Gabungan X ∨ Y dua bidak adalah bidak yang boleh melangkah seperti X atau seperti Y. Ratu adalah contoh pertama: Q = R ∨ B. Gabungan bersifat asosiatif, komutatif, dan idempoten, sehingga bidak yang dibangun dari tiga langkah ini membentuk kisi Boolean himpunan bagian dari {R, B, N}.

Sederhananya: urutan dalam gabungan tidak penting (R ∨ N adalah bidak yang sama dengan N ∨ R), dan menambahkan langkah yang sudah dimiliki bidak tidak mengubah apa pun (R ∨ R = R). Jadi bidak yang dibangun dari R, B, dan N sepenuhnya ditentukan oleh langkah mana dari ketiganya yang dimilikinya.

Gabungan bukan operasi grup. Langkah-langkah dijumlahkan menjadi grup, tetapi gabungan bidak tidak punya invers: langkah yang sudah ditambahkan tidak bisa dihapus oleh gabungan lain. Itulah sebabnya bidak membentuk kisi Boolean, bukan grup. Grup menentukan dari apa bidak dibangun; gabungan menentukan bagaimana bidak digabungkan.

Hitungan yang sama tanpa simbol: masing-masing R, B, dan N ada di bidak atau tidak, sehingga ada 2 · 2 · 2 = 8 kombinasi. Satu kombinasi tidak berisi apa pun dan bukan bidak, jadi tersisa 7. Gambar 1 dan tabel di bagian pertama menampilkan ketujuhnya.

Dua akibat. Pertama, Maharajah tidak memperkenalkan arah baru: semua bidaknya memakai tiga orbit yang sama dari 35 seperti catur ortodoks. Kedua, himpunannya minimal. Tanpa salah satu dari tiga bidak baru itu, himpunannya tidak lagi tertutup, dan bidak lain apa pun yang ditambahkan akan membawa langkah baru.

Catur ortodoks menerima gabungan sebagai prinsip (ratu), tetapi menerapkannya hanya pada satu dari tiga pasangan. Maharajah menerapkan prinsip yang sama pada setiap pasangan dan pada ketiganya sekaligus.

Berapa banyak bidak yang mungkin

Bidak simetris ditentukan oleh apa yang dilakukannya pada setiap 35 orbit: mengabaikannya, melompat sepanjangnya, atau meluncur sepanjangnya. Meluncur berbeda dari melompat hanya jika setidaknya dua langkah muat di papan, yaitu jika 2·max(|dx|, |dy|) ≤ 7. Itu berlaku untuk tepat 9 orbit, yang panjangnya sampai 3. Sisa 26 orbit hanya punya dua pilihan.

Mengapa meluncur memerlukan 2·max(|dx|, |dy|) ≤ 7: bidak yang meluncur mengulang langkah yang sama terus-menerus, jadi langkah keduanya mendarat dua kali lebih jauh. Sepanjang (3, 0), bidak di lajur a mencapai d, lalu g: dua langkah muat. Sepanjang (4, 0), langkah kedua butuh 8 lajur, padahal papan hanya menyisakan 7, jadi “meluncur sepanjang (4, 0)” dan “melompat sepanjang (4, 0)” adalah bidak yang sama. Kolom panjang menghitung orbit menurut koordinat yang lebih besar: panjang L punya L + 1 orbit, (L, 0), (L, 1) … (L, L). Jadi panjang 1 sampai 3 memberi 2 + 3 + 4 = 9 orbit, dan panjang 4 sampai 7 memberi 5 + 6 + 7 + 8 = 26.

Pilihan-pilihan itu saling bebas, jadi dikalikan. Dua orbit dengan masing-masing tiga pilihan saja sudah memberi 3 · 3 = 9 kombinasi. Untuk ke-35 orbit: 3⁹ = 19.683 untuk orbit pendek dikali 2²⁶ = 67.108.864 untuk orbit panjang. Satu kombinasi mengabaikan semua orbit: “bidak” yang sama sekali tidak bisa bergerak. Karena itu dikurangi 1.

Jadi papan 8×8 memungkinkan tepat 3⁹ · 2²⁶ − 1 = 1.320.903.770.111 bidak simetris, lebih dari 1,3 triliun. Hitungan itu belum termasuk bidak yang hanya maju (pion, bidak shogi), bidak yang melompati bidak lain (belalang, meriam xiangqi), dan bidak yang bisa dihalangi (kuda xiangqi). Kesimpulannya sederhana: tidak ada himpunan bidak yang bisa «lengkap» di antara semua yang mungkin. Kelengkapan hanya bermakna terhadap basis yang dipilih.

Basis yang lebih luas: 17 bidak

Bagaimana jika basisnya mencakup langkah pendek? Sepanjang garis, bidak bisa tidak punya apa-apa, langkah W, atau luncur R; sepanjang diagonal tidak ada, langkah F, atau luncur B; ditambah kuda atau tidak. Hasilnya 3 · 3 · 2 − 1 = 17 bidak. Catur ortodoks punya 5 di antaranya (raja hanya sebagai bidak kerajaan), Maharajah punya 8. Sembilan sisanya dikenal dari tradisi lain: ferz shatranj, naga shogi, bidak fantasi.

Hitungannya sama seperti di “Berapa banyak bidak yang mungkin”: 3 pilihan pada garis kali 3 pada diagonal kali 2 untuk kuda adalah 18, dan satu kombinasi tanpa apa pun bukanlah bidak.

Atlas bidak yang dikenal

Di bawah ini ada 31 bidak dari catur, Maharajah, shatranj (permainan Persia kuno asal catur), xiangqi (catur Tiongkok), shogi (catur Jepang), dan catur fantasi. Setiap gambar kecil menunjukkan langkah dari d4 di papan kosong. Ketuk sebuah bidak untuk membukanya di papan besar. Di sana Anda bisa memindahkannya dengan mengetuk petak dan menyalakan peta panas jumlah langkahnya dari setiap petak.

Apa yang ditunjukkan perhitungan

Untuk setiap bidak kami menghitung mobilitasnya di papan kosong dan menyelesaikan akhir permainan raja dan satu bidak melawan raja sendirian dengan menelusuri setiap posisi (sekitar 262 ribu untuk tiap pihak yang melangkah). Pemecahnya diperiksa dengan hasil yang sudah dikenal: skakmat terpanjang dengan ratu keluar 10 langkah dan dengan benteng 16, sama seperti tablebase akhir permainan.

Dari mana 262 ribu: raja putih, raja hitam, dan bidak putih masing-masing bisa berdiri di salah satu dari 64 petak, dan 64 · 64 · 64 = 262.144. Penempatan dengan dua di antaranya di petak yang sama atau kedua raja bersebelahan tidak sah dan dilewati.

Rata-rata: jumlah langkah rata-rata di 64 petak. Sudut dan tengah: jumlah langkah paling sedikit dan paling banyak dari satu petak. Diameter: jumlah langkah terbanyak yang diperlukan antara dua petak. Menang paksa: bagian posisi (Putih melangkah) yang skakmatnya terpaksa. Skakmat terpanjang: dalam langkah, dengan permainan terbaik kedua pihak. Bidak Maharajah disorot.

Betza adalah notasi singkat standar untuk bidak fantasi. W adalah satu langkah sepanjang garis, F satu langkah sepanjang diagonal, N lompatan kuda, K = W + F langkah raja; R, B, dan Q meluncur, dan huruf ganda juga meluncur (NN, penunggang malam). Huruf-huruf digabung: RN bergerak seperti benteng dan seperti kuda. Pada mfWcfF milik pion, m berarti hanya bergerak, c hanya memakan, f ke depan.

Empat kesimpulan yang mengikuti dari geometri saja:

1. Mobilitas dijumlahkan dengan tepat. Vektor kuda bukan kelipatan vektor garis atau diagonal mana pun, jadi petak kuda tidak pernah berimpit dengan petak bidak peluncur: A = B + N = 8,75 + 5,25 = 14,00, sama seperti benteng.
2. Gabungan bisa melakukan yang tidak bisa dilakukan bagiannya. Baik gajah maupun kuda tidak bisa men-skakmat sendirian; Uskup Agung bisa dari posisi mana pun. Alasannya adalah warna petak (Gbr. 6).
3. Maharaja men-skakmat paling lama dalam 4 langkah dari posisi mana pun; ratu butuh hingga 10.
4. Paritas. Tidak ada bidak yang setiap langkahnya mengubah warna petak (W, N, W+N, penunggang malam) yang bisa men-skakmat sendirian. Ini pola pada 18 bidak, bukan bukti.

Sederhananya: beri nomor lajur dan baris dari 1 sampai 8 lalu jumlahkan kedua angka. Petak gelap berjumlah genap, petak terang ganjil. Langkah gajah mengubah jumlah itu dengan bilangan genap, jadi gajah tidak pernah berganti warna. Langkah kuda mengubahnya dengan 1 atau 3, bilangan ganjil, jadi kuda berganti warna setiap langkah. Uskup Agung punya kedua langkah dan bisa mencapai petak mana pun, karena itu ia bisa mematikan sementara gajah dan kuda sendirian tidak.

Batas klaim ini

Agar kesimpulannya tidak dibaca lebih luas daripada yang dibuktikan:

• Bukan semua bidak yang mungkin. Maharajah memuat 7 dari lebih dari 1,3 triliun bidak simetris. Ia lengkap terhadap gabungan pada basis {R, B, N}, yaitu terhadap langkah jarak jauh catur itu sendiri.
• Meluncurkan kuda. Untuk garis dan diagonal, catur punya langkah (raja) dan luncur (benteng, gajah); untuk kuda hanya lompatan. Penunggang malam, yang meluncur sepanjang vektor kuda, tidak ada di catur maupun di Maharajah.
• Jenis bidak lain, yang hanya maju, melompati bidak lain, atau bisa dihalangi, berada di luar model ini.
• Kekuatan dan nilai. Geometri tidak menentukan berapa nilai sebuah bidak dalam permainan. Itu pertanyaan untuk pengukuran dengan mesin, bukan untuk artikel ini.

Sejarah gagasan

Himpunan bidak catur selalu diperluas. Dalam shatranj, tempat ratu diisi ferz, satu langkah diagonal, dan tempat gajah diisi alfil, lompatan ke (2, 2). Di Eropa pada akhir abad ke-15 keduanya diganti ratu modern (R ∨ B) dan gajah, dan saat itulah gabungan langkah masuk ke catur.

Menggabungkan benteng dan gajah dengan kuda sudah diusulkan berkali-kali: Pietro Carrera (1617) di papan 10 × 8, Henry Bird (1874), José Raúl Capablanca (1920-an) dengan Kanselir dan Uskup Agung, Grand Chess karya Christian Freeling (1984) di 10 × 10, Seirawan Chess karya Yasser Seirawan dan Bruce Harper (2007) di 8 × 8. Ratu plus kuda (amazon) muncul di catur regional dan fantasi. Tanggal sejarah mengikuti sumber yang umum dikutip dan tidak diperiksa terhadap sumber primer.

Yang baru di Maharajah bukan bidaknya sendiri, melainkan bahwa ketujuh gabungan dikumpulkan di papan biasa 8 × 8, dengan pemain menyusun pasukan dari anggaran yang sama.

Metode dan keterulangan

Setiap angka di sini dihitung, bukan diambil dari literatur. kxk.c (C, sekitar 3 detik) menghitung mobilitas, keterikatan warna, dan diameter, serta menyelesaikan akhir permainan K + X melawan K dengan analisis retrograd: mundur dari posisi skakmat, setengah langkah setiap kali, sampai himpunan posisi menang berhenti bertambah. Pada posisi legal, kedua raja tidak bersebelahan dan bidak berada di petaknya sendiri; pat adalah remis; raja hitam boleh memakan bidak yang tidak dilindungi. Gambar kecil di halaman ini digambar dari definisi langkah yang sama. Kode sumber kxk.c terbuka di peramban lewat tautan di atas: kompilasi dengan cc -O2 kxk.c -o kxk lalu jalankan ./kxk.

Kesimpulan

Catur ortodoks membangun bidak jarak jauhnya dari tiga langkah, garis, diagonal, dan lompatan kuda, dan memakai empat dari tujuh gabungannya. Maharaja, Kanselir, dan Uskup Agung adalah tepat tiga yang hilang. Karena itu himpunan bidak Maharajah adalah ketertutupan himpunan catur terhadap gabungan langkahnya sendiri. Tidak ada yang baru ditambahkan; yang dimulai ratu telah dituntaskan.

Dan matematika itu ada di papan sejak awal. Setiap pemain yang tahu bahwa gajah tetap di warnanya, bahwa lompatan kuda bisa dibatalkan, atau bahwa sebuah pola bekerja sama di sayap lain, sudah memakai vektor, simetri, dan paritas tanpa namanya.

Anda bisa menyusun pasukan dengan bidak-bidak ini di penyusun pasukan atau melihat cara setiap bidak melangkah di Pelajari.