Por que Maharajah tem exatamente estas peças

A resposta em uma tabela

O xadrez constrói suas peças de longo alcance com três movimentos: a linha reta da torre (R), a diagonal do bispo (B) e o salto do cavalo (N). A dama é simplesmente uma torre e um bispo numa só peça. Três movimentos podem ser combinados de exatamente sete maneiras, e aqui estão todas.

Valor: o preço da peça em pontos quando você monta um exército no Maharajah. Os preços são definidos pelo jogo, não deduzidos da geometria acima; as quatro peças ortodoxas mantêm seu valor habitual no xadrez.

De onde vem o sete: cada um dos três movimentos está na peça ou não. Isso dá 2 · 2 · 2 = 8 combinações, e uma delas, sem movimento nenhum, não é uma peça, então 8 − 1 = 7. No desenho abaixo cada linha quer dizer “acrescentar mais um movimento”.

Por que estes três movimentos

Gire o tabuleiro um quarto de volta ou olhe para ele num espelho. A torre continua andando como torre e o cavalo como cavalo: as peças não percebem para onde o tabuleiro está virado. Esse giro ou reflexo se chama simetria, e um quadrado tem oito. Os botões sob a fig. 2 deixam você experimentar três.

As simetrias separam todos os movimentos possíveis em famílias. Um movimento reto continua reto, um diagonal continua diagonal, e qualquer outro, nem reto nem diagonal, continua oblíquo. Não existe quarta família. O movimento mais curto de cada família é uma casa reta, uma casa na diagonal e “dois e um”: o passo da torre, o passo do bispo e o salto do cavalo.

Então a torre, o bispo e o cavalo não são três invenções ao acaso. Cada um é o movimento mais simples de uma das únicas três famílias que o quadrado tem. Os matemáticos chamam essas famílias de órbitas.

A dama começou

Há uns quinhentos anos o xadrez deu um passo que hoje todo jogador considera natural: deu a uma peça os movimentos de duas. A dama é uma torre e um bispo juntos. Uma vez permitido isso, há mais três combinações esperando: torre e cavalo, bispo e cavalo, e as três de uma vez. O xadrez nunca as fez. Maharajah faz: o Chanceler, o Arcebispo e o Marajá.

Nada aqui é um tipo novo de movimento. Cada movimento de cada peça de Maharajah é um movimento que alguma peça ortodoxa já faz.

A matemática que você já joga

Um enxadrista faz matemática a cada lance sem chamá-la assim. Aqui estão as seis ideias em que este artigo se apoia, cada uma como você já a conhece do tabuleiro, com o nome que os matemáticos lhe dão. A parte dois usa esses nomes.

• Um movimento é um vetor. “Duas para cima e uma para a direita” é o mesmo salto de cavalo a partir de qualquer casa. Um movimento não é um par de casas, mas um deslocamento: quanto para o lado e quanto para cima. Escrito como um par de números, (1, 2), ele se chama vetor.
• Movimentos se somam. Dois saltos seguidos terminam na mesma casa em qualquer ordem. Todo movimento é desfeito pelo mesmo movimento para trás, e ficar parado é o movimento “nada”. Movimentos com essas regras formam o que os matemáticos chamam de grupo.
• Simetria. Você reconhece um padrão de mate na outra ala como o mesmo padrão, espelhado. Girar ou espelhar o tabuleiro sem mudar o modo como as peças andam é uma simetria; o quadrado tem oito, e elas também formam um grupo, chamado D₄.
• Famílias de movimentos. Separar os movimentos conforme um giro ou um espelho transforma uns nos outros dá as famílias reta, diagonal e oblíqua. Os matemáticos chamam essas famílias de órbitas, e a regra “da mesma família” de equivalência.
• Contar combinações. Três movimentos, cada um na peça ou não: 2 · 2 · 2 = 8, menos a vazia. Todas as combinações, cada uma ligada às que lhe dão origem, formam o desenho da fig. 1, que se chama reticulado.
• Paridade. O bispo nunca sai da sua cor, e o cavalo muda de cor a cada salto. É aritmética com só duas respostas, par e ímpar, chamada contagem módulo 2. Ela ajuda a explicar por que o Arcebispo dá mate com o seu rei enquanto nem o bispo nem o cavalo conseguem.

Nada disso é novo para um enxadrista; só ganha nomes. Com os nomes, a escolha das peças de Maharajah deixa de ser questão de gosto e passa a ser algo que se pode verificar.

Quatro resultados surpreendentes

Pusemos um computador para resolver todos os finais de rei e uma peça contra rei sozinho. Quatro resultados se destacam.

1. Bispo e cavalo numa só peça dão mate. Nem o bispo nem o cavalo conseguem forçar mate com o seu rei. O Arcebispo, que é os dois, dá mate de qualquer posição.
2. Os movimentos se somam exatamente. Num tabuleiro vazio um bispo tem em média 8,75 movimentos e um cavalo 5,25. O Arcebispo tem 14,00, exatamente a soma e tanto quanto uma torre, porque o cavalo nunca salta para uma casa que o bispo poderia alcançar.
3. O Marajá é rápido. Com o seu rei ele dá mate num rei sozinho em no máximo 4 lances de qualquer posição. A dama precisa de até 10.
4. A cor decide. Nenhuma peça cujos movimentos mudam todos a cor da casa conseguiu dar mate sozinha, o cavalo entre elas. É um padrão visto em 18 peças, não uma prova.

As tabelas completas estão na parte dois, em O que os cálculos mostram.

O que se afirma e o que não

Afirma-se: as três peças novas de Maharajah são exatamente as combinações dos movimentos da torre, do bispo e do cavalo que o xadrez deixou de fora.

Não se afirma: que sejam as únicas peças novas possíveis (o tabuleiro admite mais de um trilhão de peças simétricas), nem que a geometria decida a força de uma peça no jogo. A parte dois traz as provas e os limites por completo.

A pergunta

Maharajah acrescenta três peças às seis do xadrez. O Marajá se move como dama e cavalo, o Chanceler como torre e cavalo, o Arcebispo como bispo e cavalo. A pergunta natural é: por que estas três? A escolha é tão arbitrária quanto em centenas de variantes de xadrez feérico, ou algo a determina?

Para responder com prova e não por gosto, descrevemos os lances matematicamente, como vetores em uma rede organizada pelo grupo de simetrias do quadrado. A pergunta «quais peças faltam» vira então uma pergunta sobre um conjunto finito, e um conjunto finito pode ser verificado por inteiro.

Um lance é um vetor

Seja uma peça na casa (x, y). Um lance a leva para (x + dx, y + dy). Chamamos o par (dx, dy) de vetor de movimento. Uma peça pode usar um vetor de duas maneiras:

• salto: um passo pelo vetor, não importa o que esteja no meio (o cavalo);
• deslize: repetir o mesmo passo enquanto a casa estiver vazia (a torre e o bispo).

Em um tabuleiro 8×8, dx e dy ficam entre −7 e 7, então há 15 × 15 − 1 = 224 vetores não nulos. São todos os lances que o tabuleiro permite. A figura 3 mostra cada um deles: o centro é a casa da peça, cada célula é um vetor. Toque em qualquer célula para ver sua direção e as peças que a usam.

Por que 15 e não 8: o vetor não depende de onde a peça está. Da coluna a uma peça pode ir no máximo 7 colunas para a direita, dx = +7 (a → h); da coluna h, no máximo 7 para a esquerda, dx = −7 (h → a). Qualquer valor intermediário também é possível, e também 0, então dx assume 7 + 1 + 7 = 15 valores, e dy o mesmo. Isso dá uma grade de 15 × 15 com a peça no centro; o único vetor descartado é (0, 0), ficar no lugar. De uma casa específica só 63 desses vetores ficam dentro do tabuleiro (um para cada outra casa), mas quais 63 depende da casa: num canto todos apontam para um lado, no centro para todos os lados.

Os movimentos se somam: dois movimentos seguidos são um só movimento, (dx₁, dy₁) + (dx₂, dy₂) = (dx₁ + dx₂, dy₁ + dy₂). Com essa soma, os vetores formam o grupo aditivo ℤ²: a soma de dois vetores é de novo um vetor, a ordem não importa (v + w = w + v), (0, 0) é o zero e todo vetor v tem um oposto −v com v + (−v) = 0. A grade de 15 × 15 é uma janela para esse grupo, não um grupo próprio: (7, 0) + (7, 0) = (14, 0) já não cabe no tabuleiro.

Em termos simples: “duas para cima, depois uma para a direita” e “uma para a direita, depois duas para cima” terminam na mesma casa; ficar parado é o movimento zero; e todo movimento é desfeito pelo mesmo movimento para trás.

A simetria do quadrado

Gire o tabuleiro 90° ou espelhe-o, e a torre continua torre e o cavalo continua cavalo. Um quadrado tem oito transformações assim: quatro rotações e quatro reflexões. Juntas elas formam o grupo diedral D₄, o grupo de simetrias do quadrado. Uma peça cujas regras não dependem de como o tabuleiro está girado (toda peça ortodoxa exceto o peão) contém, junto com cada vetor, todas as suas imagens sob D₄.

Cada simetria é uma matriz de inteiros que age sobre os vetores de movimento: o quarto de volta leva (x, y) em (−y, x), a reflexão na diagonal leva (x, y) em (y, x). Por isso as simetrias respeitam a soma, g(v + w) = g(v) + g(w): girar o tabuleiro depois de dois movimentos é o mesmo que girar cada movimento e somá-los. Na linguagem dos grupos, D₄ age sobre ℤ² e toda simetria é um automorfismo de ℤ². A meia volta leva cada v em −v, então uma peça simétrica sempre tem, junto com cada movimento, o movimento de volta.

Dizemos que dois vetores são equivalentes se alguma simetria transforma um no outro. Isso é uma relação de equivalência, e são exatamente as três regras do grupo que a tornam uma: todo vetor é equivalente a si mesmo (a identidade), a relação vale nos dois sentidos (toda simetria pode ser desfeita) e ela se encadeia (duas simetrias seguidas são de novo uma simetria). Suas classes dividem os vetores em famílias que não se sobrepõem.

O conjunto das imagens de um vetor é a sua órbita, e as órbitas são essas classes. O teorema órbita-estabilizador dá o seu tamanho: |órbita| = 8 / |estabilizador|, onde o estabilizador é o conjunto de simetrias que deixam o vetor no lugar. Um vetor em uma linha ou diagonal é mantido por uma reflexão, então sua órbita tem 4 direções. Um vetor oblíquo como o do cavalo não é mantido por nenhuma simetria, então tem 8.

Em termos simples: pegue o passo da torre (1, 0). Girar o tabuleiro 90° dá (0, 1), (−1, 0) e (0, −1), mas virar o tabuleiro de cima para baixo deixa (1, 0) onde estava, então as oito simetrias dão cada uma das quatro direções duas vezes. O passo do cavalo (2, 1) não tem essa simetria: as oito dão vetores diferentes, listados abaixo.

De onde vêm 7, 7 e 21. Uma órbita é fixada pelos seus dois comprimentos de passo sem sinal. Uma órbita de linha é (a, 0) com a de 1 a 7: 7 órbitas de 4 vetores cada, (±a, 0) e (0, ±a). Uma órbita diagonal é (a, a): de novo 7 órbitas de 4, (±a, ±a).

Uma órbita oblíqua é um par de dois números diferentes de 1 a 7, e a ordem não importa: (2, 1) e (1, 2) estão na mesma órbita. Há 7 · 6 / 2 = 21 pares assim, {2, 1}, {3, 1}, {3, 2}, {4, 1} … {7, 6}, e cada órbita tem 8 vetores: 2 ordens vezes 4 combinações de sinais. A órbita do cavalo, por exemplo, é (2, 1) (1, 2) (−1, 2) (−2, 1) (−2, −1) (−1, −2) (1, −2) (2, −1). Verificação: 28 + 28 + 168 = 224 vetores em 7 + 7 + 21 = 35 órbitas. Em termos simples, 35 é o número de lances diferentes quando se ignora a direção: 7 comprimentos para a torre, 7 para o bispo e 21 formas do tipo cavalo.

A mesma contagem sai sem listar uma única órbita. O lema de Burnside diz que o número de órbitas é a média de vetores que uma simetria deixa no lugar. Tome a grade inteira de 15 × 15, com o zero: a identidade fixa todos os 225 vetores, cada uma das três rotações fixa só (0, 0) e cada uma das quatro reflexões fixa os 15 vetores do seu eixo. Então o número de órbitas é (225 + 3 · 1 + 4 · 15) / 8 = 288 / 8 = 36: as 35 direções e o vetor zero, sozinho na sua própria órbita.

Por que exatamente três movimentos básicos. Um vetor não nulo é mantido no lugar ou por uma reflexão num eixo que passa pelos lados do quadrado (os vetores de linha), ou por uma reflexão numa diagonal (os vetores diagonais), ou por nenhuma simetria além da identidade (os vetores oblíquos). Então há três tipos de direção, e não mais. O vetor mais curto de cada tipo é (1, 0), (1, 1) e (2, 1): o passo da torre, o passo do bispo e o salto do cavalo. O xadrez constrói suas peças de longo alcance com o menor membro de cada tipo, e é por isso que a geometria, não o gosto, destaca esses três.

O teorema do fecho

Escrevamos os três movimentos de longo alcance do xadrez como R, deslize por uma linha; B, deslize por uma diagonal; N, o salto do cavalo. A união X ∨ Y de duas peças é uma peça que pode se mover como X ou como Y. A dama é o primeiro exemplo: Q = R ∨ B. A união é associativa, comutativa e idempotente, então as peças construídas com esses três movimentos formam o reticulado booleano dos subconjuntos de {R, B, N}.

Em termos simples: a ordem numa união não importa (R ∨ N é a mesma peça que N ∨ R), e acrescentar um lance que a peça já tem não muda nada (R ∨ R = R). Então uma peça feita de R, B e N fica descrita por completo por quais dos três ela tem.

A união não é uma operação de grupo. Os movimentos se somam formando um grupo, mas a união de peças não tem inverso: um movimento já adicionado não pode ser retirado por outra união. Por isso as peças formam um reticulado, não um grupo. O grupo decide de que as peças são feitas; a união decide como elas se combinam.

A mesma conta sem símbolos: cada um de R, B e N está na peça ou não, o que dá 2 · 2 · 2 = 8 combinações. Uma não contém nada e não é peça, então restam 7. A fig. 1 e a tabela da primeira parte mostram as sete.

Dois corolários. Primeiro, Maharajah não introduz nenhuma direção nova: todas as suas peças usam as mesmas três órbitas de 35 que o xadrez ortodoxo. Segundo, o conjunto é mínimo. Sem qualquer uma das três peças novas ele deixa de ser fechado, e qualquer outra peça acrescentada traria um movimento novo.

O xadrez ortodoxo aceita a união como princípio (a dama), mas a aplica a apenas um dos três pares. Maharajah aplica o mesmo princípio a todos os pares e ao trio.

Quantas peças são possíveis

Uma peça simétrica é definida pelo que faz com cada uma das 35 órbitas: ignorá-la, saltar por ela ou deslizar por ela. Deslizar difere de saltar só quando cabem pelo menos dois passos no tabuleiro, isto é, quando 2·max(|dx|, |dy|) ≤ 7. Isso vale para exatamente 9 órbitas, as de comprimento até 3. As outras 26 têm só duas opções.

Por que deslizar exige 2·max(|dx|, |dy|) ≤ 7: uma peça que desliza repete o mesmo passo várias vezes, então o segundo passo cai duas vezes mais longe. Por (3, 0) uma peça na coluna a chega a d e depois a g: cabem dois passos. Por (4, 0) o segundo passo precisaria de 8 colunas, mas o tabuleiro só oferece 7, então «deslizar por (4, 0)» e «saltar por (4, 0)» são a mesma peça. A coluna de comprimento conta as órbitas pela coordenada maior: o comprimento L tem L + 1 órbitas, (L, 0), (L, 1) … (L, L). Assim, os comprimentos de 1 a 3 dão 2 + 3 + 4 = 9 órbitas e os de 4 a 7 dão 5 + 6 + 7 + 8 = 26.

As escolhas são independentes, então se multiplicam. Duas órbitas com três opções cada já dão 3 · 3 = 9 combinações. Para todas as 35: 3⁹ = 19.683 para as órbitas curtas vezes 2²⁶ = 67.108.864 para as longas. Uma combinação ignora todas as órbitas: uma «peça» que não se move. Por isso se subtrai 1.

Assim, o tabuleiro 8×8 admite exatamente 3⁹ · 2²⁶ − 1 = 1.320.903.770.111 peças simétricas, mais de 1,3 trilhão. Essa conta deixa de fora as peças que só avançam (o peão, as peças do shogi), as que pulam sobre outras (o gafanhoto, o canhão do xiangqi) e as que podem ser bloqueadas (o cavalo do xiangqi). A conclusão é simples: nenhum conjunto de peças pode ser «completo» entre todas as possíveis. Completude só faz sentido em relação a uma base escolhida.

Uma base mais ampla: 17 peças

E se a base incluir passos curtos? Nas linhas uma peça pode não ter nada, um passo W ou um deslize R; nas diagonais nada, um passo F ou um deslize B; e ainda o cavalo ou não. Isso dá 3 · 3 · 2 − 1 = 17 peças. O xadrez ortodoxo tem 5 delas (o rei só como peça real), Maharajah tem 8. As outras nove são conhecidas de outras tradições: o ferz do shatranj, os dragões do shogi, peças feéricas.

A conta é como em «Quantas peças são possíveis»: 3 opções nas linhas vezes 3 nas diagonais vezes 2 para o cavalo dá 18, e a única combinação sem nada não é peça.

Um atlas de peças conhecidas

Abaixo estão 31 peças do xadrez, de Maharajah, do shatranj (o antigo jogo persa de onde vem o xadrez), do xiangqi (xadrez chinês), do shogi (xadrez japonês) e do xadrez feérico. Cada miniatura mostra os lances a partir de d4 em um tabuleiro vazio. Toque em uma peça para abri-la no tabuleiro grande. Lá você pode movê-la tocando em uma casa e ligar um mapa de calor de quantos lances ela tem a partir de cada casa.

O que os cálculos mostram

Para cada peça calculamos a mobilidade em um tabuleiro vazio e resolvemos o final rei e peça contra rei sozinho enumerando todas as posições (cerca de 262 mil para cada lado a jogar). O resolvedor foi conferido com resultados conhecidos: o mate mais longo com dama dá 10 lances e com torre 16, como nas tablebases de finais.

De onde vêm os 262 mil: o rei branco, o rei preto e a peça branca podem ficar cada um em qualquer uma das 64 casas, e 64 · 64 · 64 = 262.144. Posições com duas peças na mesma casa ou com os reis lado a lado são ilegais e são puladas.

Média: número médio de lances nas 64 casas. Canto e centro: o menor e o maior número de lances a partir de uma casa. Diâmetro: o maior número de lances necessários entre duas casas. Vitória forçada: fração das posições (brancas jogam) em que o mate é forçado. Mate mais longo: em lances, com o melhor jogo dos dois lados. As peças de Maharajah estão destacadas.

Betza é a notação curta padrão das peças de fantasia. W é um passo numa linha, F um passo numa diagonal, N o salto do cavalo, K = W + F o passo do rei; R, B e Q deslizam, e uma letra dobrada também desliza (NN, o cavaleiro noturno). As letras se combinam: RN anda como torre e como cavalo. No mfWcfF do peão, m significa só mover, c só capturar, f para a frente.

Quatro conclusões que decorrem só da geometria:

1. A mobilidade se soma exatamente. O vetor do cavalo não é múltiplo de nenhum vetor de linha ou diagonal, então as casas do cavalo nunca coincidem com as de uma peça que desliza: A = B + N = 8,75 + 5,25 = 14,00, igual à torre.
2. Uma união faz o que nenhuma das partes faz. Nem o bispo nem o cavalo dão mate sozinhos; o Arcebispo dá mate de qualquer posição. O motivo é a cor das casas (fig. 6).
3. O Marajá dá mate em no máximo 4 lances de qualquer posição; a dama precisa de até 10.
4. Paridade. Nenhuma peça em que todo lance muda a cor da casa (W, N, W+N, o cavaleiro noturno) consegue dar mate sozinha. É um padrão em 18 peças, não uma prova.

Em termos simples: numere colunas e fileiras de 1 a 8 e some os dois números. As casas escuras têm soma par e as claras ímpar. Um lance de bispo muda a soma por um número par, então o bispo nunca muda de cor. Um lance de cavalo a muda por 1 ou 3, um número ímpar, então o cavalo muda de cor a cada lance. O arcebispo tem os dois lances e alcança qualquer casa, por isso dá mate, e o bispo e o cavalo sozinhos não.

Os limites da afirmação

Para que a conclusão não seja lida de forma mais ampla do que está provada:

• Nem todas as peças possíveis. Maharajah tem 7 de mais de 1,3 trilhão de peças simétricas. Ele é completo sob a união na base {R, B, N}, ou seja, em relação aos próprios movimentos de longo alcance do xadrez.
• Deslizar o cavalo. Para linhas e diagonais o xadrez tem tanto um passo (o rei) quanto um deslize (torre, bispo); para o cavalo só tem o salto. Um cavaleiro noturno, que desliza pelo vetor do cavalo, não existe nem no xadrez nem em Maharajah.
• Outros tipos de peça, as que só avançam, pulam sobre outras peças ou podem ser bloqueadas, ficam fora deste modelo.
• Força e valor. A geometria não decide quanto uma peça vale no jogo. Essa é uma pergunta para medições com o motor, não para este artigo.

História da ideia

O conjunto de peças do xadrez sempre foi ampliado. No shatranj, o lugar da dama era do ferz, um único passo diagonal, e o do bispo era do alfil, um salto para (2, 2). Na Europa, no fim do século XV, eles foram substituídos pela dama moderna (R ∨ B) e pelo bispo, e foi aí que a união de movimentos entrou no xadrez.

Combinar a torre e o bispo com o cavalo já foi proposto muitas vezes: Pietro Carrera (1617) em um tabuleiro 10 × 8, Henry Bird (1874), José Raúl Capablanca (anos 1920) com o Chanceler e o Arcebispo, o Grand Chess de Christian Freeling (1984) em 10 × 10, o Seirawan Chess de Yasser Seirawan e Bruce Harper (2007) em 8 × 8. Dama mais cavalo (a amazona) aparece em xadrezes regionais e feéricos. As datas históricas seguem fontes citadas com frequência e não foram conferidas com fontes primárias.

O que é novo em Maharajah não são as peças em si, mas o fato de as sete uniões estarem reunidas no tabuleiro comum 8 × 8, com os jogadores montando seus exércitos com o mesmo orçamento.

Métodos e reprodutibilidade

Todo número aqui foi calculado, não tirado da literatura. kxk.c (C, cerca de 3 segundos) calcula mobilidade, prisão à cor e diâmetro, e resolve o final K + X contra K por análise retrógrada: de trás para frente a partir das posições de mate, meio lance por vez, até o conjunto de posições ganhas parar de crescer. Nas posições legais os reis não ficam lado a lado e a peça está na sua própria casa; afogamento é empate; o rei preto pode capturar uma peça desprotegida. As miniaturas desta página são desenhadas com as mesmas definições de movimento. O código-fonte de kxk.c abre no navegador pelo link acima: compile com cc -O2 kxk.c -o kxk e execute ./kxk.

Conclusão

O xadrez ortodoxo constrói suas peças de longo alcance com três movimentos, a linha, a diagonal e o salto do cavalo, e usa quatro das suas sete uniões. O Marajá, o Chanceler e o Arcebispo são exatamente as três que faltam. Por isso o conjunto de Maharajah é o fecho do conjunto do xadrez sob a união dos seus próprios movimentos. Nada de novo é acrescentado; completa-se o que a dama começou.

E a matemática esteve no tabuleiro o tempo todo. Todo jogador que sabe que o bispo fica na sua cor, que um salto de cavalo pode ser desfeito ou que um padrão funciona igual na outra ala vem usando vetores, simetria e paridade sem os nomes.

Você pode montar um exército com essas peças no montador de exército ou ver como cada uma se move em Aprender.