Maharajah-এ কেন ঠিক এই ঘুঁটিগুলোই

এক সারণিতে উত্তর

দাবা তার দূরপাল্লার ঘুঁটি তিনটি চাল দিয়ে গড়ে: নৌকার সরলরেখা (R), গজের কর্ণ (B) আর ঘোড়ার লাফ (N)। মন্ত্রী কেবল একটি ঘুঁটিতে নৌকা আর গজ। তিনটি চাল ঠিক সাতভাবে জোড়া যায়, আর এই হল সবগুলো।

মূল্য: Maharajah-এ সেনা গড়ার সময় ঘুঁটির দাম, পয়েন্টে। এই দাম খেলাই ঠিক করেছে, ওপরের জ্যামিতি থেকে বের করা নয়; চারটি প্রচলিত ঘুঁটি দাবার স্বাভাবিক মূল্যই রাখে।

সাত কোথা থেকে: তিনটি চালের প্রতিটি হয় ঘুঁটিতে আছে, নয় নেই। তাতে 2 · 2 · 2 = 8টি মিলন, আর তাদের একটি, যাতে কোনো চালই নেই, ঘুঁটি নয়, তাই 8 − 1 = 7। নিচের ছবিতে প্রতিটি রেখার মানে “আরও একটি চাল যোগ করো”।

কেন এই তিনটি চাল

বোর্ডটিকে এক-চতুর্থাংশ ঘোরান, বা আয়নায় দেখুন। নৌকা তবুও নৌকার মতো চলে, ঘোড়া ঘোড়ার মতো: বোর্ড কোন দিকে ঘোরানো, ঘুঁটিরা তা টের পায় না। এমন ঘোরানো বা প্রতিফলনকে বলে প্রতিসাম্য, আর বর্গের এমন আটটি আছে। চিত্র 2-এর নিচের বোতামগুলো দিয়ে তিনটি চেষ্টা করে দেখতে পারেন।

প্রতিসাম্যগুলো সব সম্ভাব্য চালকে পরিবারে ভাগ করে। সোজা চাল সোজাই থাকে, কর্ণ চাল কর্ণই, আর বাকি সব চাল, যা সোজাও নয় কর্ণও নয়, বাঁকাই থাকে। চতুর্থ কোনো পরিবার নেই। প্রতিটি পরিবারের সবচেয়ে ছোট চাল হল এক ঘর সোজা, এক ঘর কোনাকুনি, আর “দুই আর এক”: নৌকার পা, গজের পা আর ঘোড়ার লাফ।

তাই নৌকা, গজ আর ঘোড়া তিনটি এলোমেলো আবিষ্কার নয়। প্রত্যেকটি বর্গের মাত্র তিনটি পরিবারের একটির সবচেয়ে সরল চাল। গণিতবিদেরা এই পরিবারগুলোকে কক্ষপথ বলেন।

শুরুটা মন্ত্রীর

প্রায় পাঁচশো বছর আগে দাবা এমন এক পা ফেলেছিল যা আজ প্রত্যেক খেলোয়াড় স্বাভাবিক মনে করেন: একটি ঘুঁটিকে দুটির চাল দেওয়া। মন্ত্রী হল নৌকা আর গজ একসঙ্গে। এটা মেনে নিলেই আরও তিনটি মিলন অপেক্ষায়: নৌকা আর ঘোড়া, গজ আর ঘোড়া, আর তিনটিই একসঙ্গে। দাবা কখনো সেগুলো বানায়নি। Maharajah বানায়: চ্যান্সেলর, আর্চবিশপ আর মহারাজা।

এখানে নতুন ধরনের কোনো চাল নেই। Maharajah-এর প্রতিটি ঘুঁটির প্রতিটি চাল এমন একটি চাল যা কোনো প্রচলিত ঘুঁটি আগে থেকেই দেয়।

যে গণিত আপনি আগে থেকেই খেলছেন

দাবাড়ু প্রতিটি চালে গণিত করেন, তাকে এই নাম না দিয়েই। এই লেখা যে ছয়টি ধারণার ওপর দাঁড়িয়ে, সেগুলো এখানে, প্রতিটি যেমন আপনি বোর্ড থেকে আগেই চেনেন, আর গণিতবিদেরা তাকে যে নাম দেন। দ্বিতীয় অংশ এই নামগুলোই ব্যবহার করে।

• চাল একটি ভেক্টর। “দুই ওপরে আর এক ডানে” যেকোনো ঘর থেকে ঘোড়ার একই লাফ। চাল দুটি ঘরের জোড়া নয়, একটি সরণ: পাশে কতটা আর ওপরে কতটা। সংখ্যার জোড়া (1, 2) হিসেবে লিখলে একে বলে ভেক্টর।
• চাল যোগ হয়। পরপর দুটি লাফ যে ক্রমেই দিন, একই ঘরে শেষ হয়। প্রতিটি চাল একই চাল উল্টো দিকে দিলে মুছে যায়, আর জায়গায় দাঁড়িয়ে থাকা হল “কিছুই না” চাল। এই নিয়মের চালগুলো যা গড়ে, গণিতবিদেরা তাকে বলেন গ্রুপ।
• প্রতিসাম্য। অন্য পাশের মাতের নকশাকে আপনি একই নকশার প্রতিফলন বলে চিনে নেন। ঘুঁটির চাল না বদলে বোর্ড ঘোরানো বা উল্টানো একটি প্রতিসাম্য; বর্গের আটটি আছে, আর সেগুলোও একটি গ্রুপ গড়ে, যার নাম D₄।
• চালের পরিবার। কোন চালকে ঘোরানো বা আয়না একে অপরে বদলে দেয়, সেই অনুযায়ী চাল ভাগ করলে পাওয়া যায় সোজা, কর্ণ আর বাঁকা পরিবার। গণিতবিদেরা এমন পরিবারকে বলেন কক্ষপথ, আর “একই পরিবার” নিয়মটিকে সমতুল্যতা।
• মিলন গোনা। তিনটি চাল, প্রতিটি ঘুঁটিতে আছে বা নেই: 2 · 2 · 2 = 8, খালিটি বাদ। সব মিলন, প্রতিটি যেগুলো থেকে গড়ে ওঠে সেগুলোর সঙ্গে যুক্ত, চিত্র 1-এর ছবিটি গড়ে, যাকে বলে জালক।
• জোড়-বিজোড়। গজ কখনো তার রং ছাড়ে না, আর ঘোড়া প্রতি লাফে রং বদলায়। এ মাত্র দুটি উত্তরের, জোড় আর বিজোড়, পাটিগণিত, যাকে বলে মডুলো 2 গোনা। এটা বোঝাতে সাহায্য করে কেন আর্চবিশপ নিজের রাজাকে নিয়ে মাত দিতে পারে, অথচ গজ বা ঘোড়া কেউ পারে না।

এর কিছুই দাবাড়ুর কাছে নতুন নয়; শুধু নাম পায়। নামগুলো পেলে Maharajah-এর ঘুঁটি বাছাই আর রুচির ব্যাপার থাকে না, যাচাই করা যায় এমন কিছু হয়ে ওঠে।

চারটি অবাক করা ফল

আমরা কম্পিউটার দিয়ে রাজা আর একটি ঘুঁটি বনাম একা রাজার প্রতিটি শেষখেলা সমাধান করিয়েছি। চারটি ফল চোখে পড়ে।

1. এক ঘুঁটিতে গজ আর ঘোড়া মাত দিতে পারে। গজ বা ঘোড়া কেউই নিজের রাজাকে নিয়ে জোর করে মাত দিতে পারে না। আর্চবিশপ, যে দুটোই, যেকোনো অবস্থান থেকে মাত দেয়।
2. চাল ঠিক ঠিক যোগ হয়। খালি বোর্ডে গজের গড়ে 8.75টি চাল, ঘোড়ার 5.25টি। আর্চবিশপের 14.00, ঠিক যোগফল আর নৌকার সমান, কারণ ঘোড়া কখনো এমন ঘরে লাফায় না যেখানে গজ পৌঁছাতে পারত।
3. মহারাজা দ্রুত। নিজের রাজাকে নিয়ে সে যেকোনো অবস্থান থেকে একা রাজাকে বড়জোর 4 চালে মাত দেয়। মন্ত্রীর লাগে 10 পর্যন্ত।
4. রং ঠিক করে দেয়। যে ঘুঁটির প্রতিটি চাল ঘরের রং বদলায়, তাদের কেউ একা মাত দিতে পারেনি, ঘোড়াও তাদের মধ্যে। এটা 18টি ঘুঁটিতে দেখা একটি ধরন, প্রমাণ নয়।

পুরো সারণিগুলো দ্বিতীয় অংশে, গণনা কী দেখায় অধ্যায়ে।

কী দাবি করা হচ্ছে, কী নয়

দাবি: Maharajah-এর তিনটি নতুন ঘুঁটি ঠিক নৌকা, গজ আর ঘোড়ার চালের সেই মিলনগুলো যা দাবা বাদ রেখেছিল।

দাবি নয়: যে এগুলোই একমাত্র সম্ভাব্য নতুন ঘুঁটি (বোর্ডে এক লক্ষ কোটির বেশি প্রতিসম ঘুঁটি সম্ভব), বা খেলায় ঘুঁটি কতটা শক্তিশালী তা জ্যামিতি ঠিক করে। দ্বিতীয় অংশ প্রমাণ আর সীমা পুরোপুরি দেয়।

প্রশ্ন

Maharajah দাবার ছয়টি ঘুঁটির সঙ্গে তিনটি ঘুঁটি যোগ করে। মহারাজা চলে মন্ত্রী আর ঘোড়ার মতো, চ্যান্সেলর নৌকা আর ঘোড়ার মতো, আর্চবিশপ গজ আর ঘোড়ার মতো। স্বাভাবিক প্রশ্ন: কেন এই তিনটিই? এই বাছাই কি শত শত কাল্পনিক দাবার মতোই খেয়ালখুশি, নাকি কিছু একটা তা ঠিক করে দেয়?

রুচি নয়, প্রমাণ দিয়ে উত্তর দিতে আমরা চালগুলোকে গণিতের ভাষায় লিখি: একটি জালকের উপর ভেক্টর হিসেবে, যা বর্গের প্রতিসাম্য গ্রুপ সাজিয়ে দেয়। তখন «কোন ঘুঁটি বাদ পড়েছে» প্রশ্নটি একটি সসীম সেটের প্রশ্ন হয়ে যায়, আর সসীম সেট পুরোটা যাচাই করা যায়।

চাল একটি ভেক্টর

ধরা যাক একটি ঘুঁটি (x, y) ঘরে আছে। একটি চাল তাকে (x + dx, y + dy) ঘরে নিয়ে যায়। জোড়া (dx, dy)-কে আমরা চাল-ভেক্টর বলি। ঘুঁটি একটি ভেক্টর দুইভাবে ব্যবহার করতে পারে:

• লাফ: ভেক্টর বরাবর এক ধাপ, মাঝে যা-ই থাকুক (ঘোড়া);
• পিছলে চলা: ঘর খালি থাকা পর্যন্ত একই ধাপ বারবার (নৌকা আর গজ)।

8×8 বোর্ডে dx আর dy দুটোই −7 থেকে 7-এর মধ্যে, তাই অশূন্য ভেক্টর 15 × 15 − 1 = 224টি। বোর্ড যত চাল অনুমোদন করে, এগুলোই সব। চিত্র 3 এদের প্রত্যেকটি দেখায়: কেন্দ্র ঘুঁটির ঘর, প্রতিটি কোষ একটি ভেক্টর। যেকোনো কোষে ট্যাপ করুন, তার দিক আর যে ঘুঁটিগুলো সেটি ব্যবহার করে তা দেখুন।

8 নয়, 15 কেন: ভেক্টর ঘুঁটি কোথায় দাঁড়িয়ে আছে তার উপর নির্ভর করে না। a-কলাম থেকে ঘুঁটি ডানে সর্বাধিক 7 কলাম যেতে পারে, dx = +7 (a → h); h-কলাম থেকে বাঁয়ে সর্বাধিক 7, dx = −7 (h → a)। মাঝের প্রতিটি মানও সম্ভব, 0-ও, তাই dx-এর 7 + 1 + 7 = 15টি মান, dy-এরও তাই। এতে 15 × 15 জাল হয়, যার কেন্দ্রে ঘুঁটি; বাদ যায় কেবল (0, 0) ভেক্টর, অর্থাৎ জায়গায় দাঁড়িয়ে থাকা। কোনো একটি ঘর থেকে এর মধ্যে মাত্র 63টি ভেক্টর বোর্ডে থাকে (প্রতিটি অন্য ঘরের জন্য একটি), কিন্তু কোন 63টি, তা ঘরের উপর নির্ভর করে: কোণে সবগুলো এক দিকে, কেন্দ্রে সব দিকে।

চালগুলো যোগ করা যায়: পরপর দুটি চাল মিলে একটি চাল, (dx₁, dy₁) + (dx₂, dy₂) = (dx₁ + dx₂, dy₁ + dy₂)। এই যোগের সঙ্গে ভেক্টরগুলো যোগাত্মক গ্রুপ ℤ² গঠন করে: দুটি ভেক্টরের যোগফল আবার একটি ভেক্টর, ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয় (v + w = w + v), (0, 0) হলো শূন্য, আর প্রতিটি ভেক্টর v-এর একটি বিপরীত −v আছে, যার জন্য v + (−v) = 0। 15 × 15 জাল এই গ্রুপের একটি জানালা, নিজে কোনো গ্রুপ নয়: (7, 0) + (7, 0) = (14, 0) আর বোর্ডে ধরে না।

সহজ কথায়: “দুই ঘর ওপরে, তারপর এক ঘর ডানে” আর “এক ঘর ডানে, তারপর দুই ঘর ওপরে” একই ঘরে গিয়ে শেষ হয়; জায়গায় দাঁড়িয়ে থাকা হলো শূন্য চাল; আর প্রতিটি চাল একই চাল উল্টো দিকে দিলে বাতিল হয়।

বর্গের প্রতিসাম্য

বোর্ড 90° ঘোরান বা আয়নায় উল্টে দিন — নৌকা নৌকাই থাকে, ঘোড়া ঘোড়াই। বর্গের এমন আটটি রূপান্তর আছে: চারটি ঘূর্ণন আর চারটি প্রতিফলন। একসঙ্গে তারা ডাইহেড্রাল গ্রুপ D₄ গঠন করে, যা বর্গের প্রতিসাম্য গ্রুপ। যে ঘুঁটির নিয়ম বোর্ড কীভাবে ঘোরানো তার উপর নির্ভর করে না (বোড়ে ছাড়া প্রতিটি প্রচলিত ঘুঁটি), তার প্রতিটি ভেক্টরের সঙ্গে D₄-এর অধীনে সেটির সব প্রতিবিম্বও থাকে।

প্রতিটি প্রতিসাম্য একটি পূর্ণসংখ্যার ম্যাট্রিক্স, যা চালের ভেক্টরের উপর কাজ করে: এক-চতুর্থাংশ ঘূর্ণন (x, y)-কে (−y, x)-এ নেয়, কর্ণে প্রতিফলন (x, y)-কে (y, x)-এ নেয়। তাই প্রতিসাম্যগুলো যোগ রক্ষা করে, g(v + w) = g(v) + g(w): দুটি চালের পর বোর্ড ঘোরানো আর প্রতিটি চাল ঘুরিয়ে যোগ করা একই কথা। গ্রুপের ভাষায়, D₄ ℤ²-এর উপর ক্রিয়া করে, আর প্রতিটি প্রতিসাম্য ℤ²-এর একটি অটোমরফিজম। অর্ধ-ঘূর্ণন প্রতিটি v-কে −v-এ নেয়, তাই প্রতিসম ঘুঁটির প্রতিটি চালের সঙ্গে সবসময় ফেরার চালও থাকে।

দুটি ভেক্টরকে সমতুল্য বলি, যদি কোনো প্রতিসাম্য একটিকে অন্যটিতে নিয়ে যায়। এটি একটি সমতুল্যতা সম্পর্ক, আর গ্রুপের তিনটি নিয়মই একে তা বানায়: প্রতিটি ভেক্টর নিজের সমতুল্য (অভেদ প্রতিসাম্য), সম্পর্কটি দুই দিকেই খাটে (প্রতিটি প্রতিসাম্য উল্টানো যায়), আর এটি শৃঙ্খলে জোড়া লাগে (পরপর দুটি প্রতিসাম্য আবার একটি প্রতিসাম্য)। এর শ্রেণিগুলো ভেক্টরদের এমন পরিবারে ভাগ করে যারা একে অপরের সঙ্গে মেশে না।

একটি ভেক্টরের সব প্রতিবিম্বের সেট তার কক্ষপথ, আর কক্ষপথগুলোই এই শ্রেণি। কক্ষপথ-স্থিতিকারী উপপাদ্য তার আকার দেয়: |কক্ষপথ| = 8 / |স্থিতিকারী|, যেখানে স্থিতিকারী হলো সেই প্রতিসাম্যগুলো যা ভেক্টরকে জায়গায় রাখে। সরলরেখা বা কর্ণের উপরের ভেক্টর একটি প্রতিফলনে অপরিবর্তিত থাকে, তাই তার কক্ষপথে 4টি দিক। ঘোড়ার মতো তির্যক ভেক্টরকে কোনো প্রতিসাম্যই অপরিবর্তিত রাখে না, তাই তার 8টি দিক।

সহজ কথায়: নৌকার ধাপ (1, 0) নিন। বোর্ড 90° ঘোরালে পাওয়া যায় (0, 1), (−1, 0) ও (0, −1), কিন্তু বোর্ড ওপর-নিচে উল্টালে (1, 0) নিজের জায়গায় থাকে, তাই আটটি প্রতিসাম্য চারটি দিকের প্রতিটি দুবার করে দেয়। ঘোড়ার ধাপ (2, 1)-এর এমন প্রতিসাম্য নেই: আটটিই আলাদা ভেক্টর দেয়, নিচে তালিকা দেওয়া আছে।

7, 7 আর 21 কোথা থেকে আসে। একটি কক্ষপথ (orbit) তার দুটি ধাপ-দৈর্ঘ্য দিয়ে নির্ধারিত হয়, চিহ্ন বাদ দিয়ে। রেখার কক্ষপথ হল (a, 0), যেখানে a 1 থেকে 7: 7টি কক্ষপথ, প্রতিটিতে 4টি ভেক্টর, (±a, 0) ও (0, ±a)। কর্ণের কক্ষপথ হল (a, a): আবার 7টি কক্ষপথ, প্রতিটিতে 4টি, (±a, ±a)।

তির্যক কক্ষপথ হল 1 থেকে 7-এর মধ্যে দুটি আলাদা সংখ্যার জোড়া, আর তাদের ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয়: (2, 1) ও (1, 2) একই কক্ষপথে থাকে। এমন জোড়া 7 · 6 / 2 = 21টি, {2, 1}, {3, 1}, {3, 2}, {4, 1} … {7, 6}, আর প্রতিটি কক্ষপথে 8টি ভেক্টর: 2টি ক্রম × 4টি চিহ্ন-সমন্বয়। যেমন, ঘোড়ার কক্ষপথ হল (2, 1) (1, 2) (−1, 2) (−2, 1) (−2, −1) (−1, −2) (1, −2) (2, −1)। যাচাই: 7 + 7 + 21 = 35টি কক্ষপথে 28 + 28 + 168 = 224টি ভেক্টর। সহজ কথায়, দিক বাদ দিলে 35টি আলাদা চাল আছে: নৌকার জন্য 7টি দৈর্ঘ্য, গজের জন্য 7টি আর ঘোড়ার মতো 21টি আকার।

একটিও কক্ষপথ না গুনে একই সংখ্যা পাওয়া যায়। বার্নসাইডের লেমা বলে, কক্ষপথের সংখ্যা হলো একটি প্রতিসাম্য গড়ে যতগুলো ভেক্টরকে জায়গায় রাখে। শূন্যসহ পুরো 15 × 15 জাল নিন: অভেদ প্রতিসাম্য সব 225টি ভেক্টর স্থির রাখে, তিনটি ঘূর্ণনের প্রতিটি কেবল (0, 0), আর চারটি প্রতিফলনের প্রতিটি নিজের অক্ষের 15টি ভেক্টর। তাই কক্ষপথের সংখ্যা (225 + 3 · 1 + 4 · 15) / 8 = 288 / 8 = 36: 35টি দিক আর শূন্য ভেক্টর, যে নিজের কক্ষপথে একা।

ঠিক তিনটি মৌলিক চাল কেন। একটি অশূন্য ভেক্টরকে জায়গায় রাখে হয় বর্গের বাহুর মধ্য দিয়ে যাওয়া অক্ষে প্রতিফলন (সরলরেখার ভেক্টর), নয় কর্ণে প্রতিফলন (কর্ণের ভেক্টর), নয়তো অভেদ ছাড়া কোনো প্রতিসাম্যই নয় (তির্যক ভেক্টর)। তাই দিকের প্রকার তিনটি, এর বেশি নয়। প্রতিটি প্রকারের সবচেয়ে ছোট ভেক্টর (1, 0), (1, 1) আর (2, 1): নৌকার ধাপ, গজের ধাপ আর ঘোড়ার লাফ। দাবা তার দূরপাল্লার ঘুঁটিগুলো প্রতিটি প্রকারের সবচেয়ে ছোট সদস্য দিয়ে গড়ে, তাই এই তিনটিকে রুচি নয়, জ্যামিতি বেছে নেয়।

সংবৃতি উপপাদ্য

দাবার তিনটি দূরপাল্লার চালকে লিখি R, সরলরেখা বরাবর পিছলে চলা; B, কর্ণ বরাবর পিছলে চলা; N, ঘোড়ার লাফ। দুটি ঘুঁটির মিলন X ∨ Y এমন একটি ঘুঁটি যা X অথবা Y-এর মতো চলতে পারে। মন্ত্রী প্রথম উদাহরণ: Q = R ∨ B। মিলন সহযোজী, বিনিময়যোগ্য আর সমঘাতী, তাই এই তিন চাল দিয়ে গড়া ঘুঁটিগুলো {R, B, N}-এর উপসেটগুলোর বুলিয়ান জালক গঠন করে।

সহজ কথায়: সংযোগে ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয় (R ∨ N আর N ∨ R একই ঘুঁটি), আর ঘুঁটির যে চাল আগে থেকেই আছে তা যোগ করলে কিছু বদলায় না (R ∨ R = R)। তাই R, B ও N দিয়ে গড়া ঘুঁটি পুরোপুরি বোঝা যায় তিনটির কোনগুলো তার আছে তা দিয়ে।

মিলন কোনো গ্রুপ-ক্রিয়া নয়। চালগুলো যোগ হয়ে গ্রুপ গঠন করে, কিন্তু ঘুঁটির মিলনের কোনো বিপরীত নেই: একবার যোগ করা চাল অন্য কোনো মিলন দিয়ে সরানো যায় না। তাই ঘুঁটিগুলো গ্রুপ নয়, জালক গঠন করে। গ্রুপ ঠিক করে ঘুঁটি কী দিয়ে গড়া; মিলন ঠিক করে সেগুলো কীভাবে জোড়া লাগে।

একই গণনা চিহ্ন ছাড়া: R, B ও N-এর প্রতিটি হয় ঘুঁটিতে আছে, নয় নেই, এতে 2 · 2 · 2 = 8টি সমন্বয় হয়। তার একটিতে কিছুই নেই এবং সেটি ঘুঁটি নয়, তাই 7টি থাকে। চিত্র 1 ও প্রথম অংশের সারণি সাতটিই দেখায়।

দুটি অনুসিদ্ধান্ত। প্রথমত, Maharajah কোনো নতুন দিক আনে না: তার সব ঘুঁটি 35টির মধ্যে সেই একই তিনটি কক্ষপথ ব্যবহার করে যা প্রচলিত দাবা করে। দ্বিতীয়ত, সেটটি ন্যূনতম। তিনটি নতুন ঘুঁটির যেকোনো একটি ছাড়া এটি আর সংবৃত থাকে না, আর অন্য যেকোনো ঘুঁটি যোগ করলে নতুন চাল আসত।

প্রচলিত দাবা মিলনকে নীতি হিসেবে মেনে নেয় (মন্ত্রী), কিন্তু তিনটি জোড়ার মধ্যে কেবল একটিতে প্রয়োগ করে। Maharajah একই নীতি প্রতিটি জোড়ায় আর তিনটিতে একসঙ্গে প্রয়োগ করে।

কতগুলো ঘুঁটি সম্ভব

একটি প্রতিসম ঘুঁটি নির্ধারিত হয় 35টি কক্ষপথের প্রতিটির সঙ্গে সে কী করে তা দিয়ে: উপেক্ষা করে, তা বরাবর লাফায়, বা পিছলে চলে। পিছলে চলা লাফ থেকে আলাদা কেবল তখনই, যখন বোর্ডে অন্তত দুটি ধাপ ধরে, অর্থাৎ যখন 2·max(|dx|, |dy|) ≤ 7। এটি ঠিক 9টি কক্ষপথে খাটে, যাদের দৈর্ঘ্য 3 পর্যন্ত। বাকি 26টির মাত্র দুটি বিকল্প।

পিছলে চলার জন্য 2·max(|dx|, |dy|) ≤ 7 কেন দরকার: পিছলে চলা ঘুঁটি একই ধাপ বারবার দেয়, তাই তার দ্বিতীয় ধাপ দ্বিগুণ দূরে পড়ে। (3, 0) বরাবর a-কলামের ঘুঁটি d-তে, তারপর g-তে পৌঁছায়: দুটি ধাপ ধরে। (4, 0) বরাবর দ্বিতীয় ধাপের জন্য 8টি কলাম লাগবে, কিন্তু বোর্ডে সর্বাধিক 7টি থাকে, তাই “(4, 0) বরাবর পিছলে চলা” আর “(4, 0) বরাবর লাফানো” একই ঘুঁটি। দৈর্ঘ্যের কলাম কক্ষপথ গোনে বড় স্থানাঙ্ক দিয়ে: দৈর্ঘ্য L-এর L + 1টি কক্ষপথ, (L, 0), (L, 1) … (L, L)। তাই দৈর্ঘ্য 1 থেকে 3 দেয় 2 + 3 + 4 = 9টি কক্ষপথ, আর 4 থেকে 7 দেয় 5 + 6 + 7 + 8 = 26টি।

বাছাইগুলো একে অপরের থেকে স্বাধীন, তাই গুণ হয়। তিনটি করে বিকল্পসহ দুটি কক্ষপথই দেয় 3 · 3 = 9টি সমন্বয়। সব 35টির জন্য: ছোট কক্ষপথের 3⁹ = 19,683 গুণ লম্বা কক্ষপথের 2²⁶ = 67,108,864। একটি সমন্বয় সব কক্ষপথ উপেক্ষা করে: এমন “ঘুঁটি” যা একেবারেই চলতে পারে না। তাই 1 বাদ দেওয়া হয়।

সুতরাং 8×8 বোর্ডে ঠিক 3⁹ · 2²⁶ − 1 = 1,320,903,770,111টি প্রতিসম ঘুঁটি সম্ভব, 1.3 লক্ষ কোটির বেশি। এই হিসাবে নেই সেই ঘুঁটি যারা কেবল সামনে চলে (বোড়ে, শোগির ঘুঁটি), যারা অন্যের উপর দিয়ে লাফায় (ফড়িং, শিয়াংচির কামান), আর যাদের পথ আটকানো যায় (শিয়াংচির ঘোড়া)। উপসংহার সরল: কোনো ঘুঁটির সেটই সব সম্ভাব্য ঘুঁটির মধ্যে «সম্পূর্ণ» হতে পারে না। সম্পূর্ণতা কেবল একটি বেছে নেওয়া ভিত্তির সাপেক্ষেই অর্থবহ।

আরও বড় ভিত্তি: 17টি ঘুঁটি

ভিত্তিতে যদি ছোট ধাপও থাকে? সরলরেখা বরাবর ঘুঁটির কিছু না থাকতে পারে, ধাপ W বা পিছলে চলা R; কর্ণ বরাবর কিছু না, ধাপ F বা পিছলে চলা B; সঙ্গে ঘোড়া থাকতে পারে বা না। এতে হয় 3 · 3 · 2 − 1 = 17টি ঘুঁটি। প্রচলিত দাবায় এর 5টি আছে (রাজা কেবল রাজকীয় ঘুঁটি হিসেবে), Maharajah-এ 8টি। বাকি নয়টি অন্য ঐতিহ্য থেকে পরিচিত: শতরঞ্জের ফার্জ, শোগির ড্রাগন, কাল্পনিক ঘুঁটি।

গণনা “কতগুলো ঘুঁটি সম্ভব” অংশের মতোই: রেখায় 3টি বিকল্প × কর্ণে 3টি × ঘোড়ার জন্য 2টি = 18, আর যে একটি সমন্বয়ে কিছুই নেই সেটি ঘুঁটি নয়।

পরিচিত ঘুঁটির অ্যাটলাস

নিচে দাবা, Maharajah, শতরঞ্জ (প্রাচীন পারস্যের খেলা, যা থেকে দাবার জন্ম), শিয়াংচি (চীনা দাবা), শোগি (জাপানি দাবা) আর কাল্পনিক দাবার 31টি ঘুঁটি। প্রতিটি ছোট ছবি খালি বোর্ডে d4 থেকে চাল দেখায়। কোনো ঘুঁটিতে ট্যাপ করলে সেটি বড় বোর্ডে খুলবে। সেখানে কোনো ঘরে ট্যাপ করে তাকে সরাতে পারবেন, আর হিট ম্যাপ চালু করে দেখতে পারবেন প্রতিটি ঘর থেকে তার কতগুলো চাল।

গণনা কী দেখায়

প্রতিটি ঘুঁটির জন্য আমরা খালি বোর্ডে তার গতিশীলতা গুনেছি এবং প্রতিটি অবস্থান গুনে «রাজা ও ঘুঁটি বনাম একা রাজা» এন্ডগেম সমাধান করেছি (চাল দেওয়া প্রতিটি পক্ষের জন্য প্রায় 2 লক্ষ 62 হাজার)। সমাধানকারী পরিচিত ফলাফলের সঙ্গে যাচাই করা: মন্ত্রী দিয়ে দীর্ঘতম কিস্তিমাত আসে 10 চালে আর নৌকা দিয়ে 16 চালে, এন্ডগেম টেবিলবেসের মতোই।

262 হাজার কোথা থেকে: সাদা রাজা, কালো রাজা আর সাদা ঘুঁটি প্রত্যেকে 64টি ঘরের যেকোনোটিতে দাঁড়াতে পারে, আর 64 · 64 · 64 = 262,144। যে বিন্যাসে দুটি একই ঘরে থাকে বা দুই রাজা পাশাপাশি থাকে, সেগুলো অবৈধ এবং বাদ দেওয়া হয়।

গড়: 64টি ঘরে চালের গড় সংখ্যা। কোণ ও কেন্দ্র: এক ঘর থেকে সবচেয়ে কম ও সবচেয়ে বেশি চাল। ব্যাস: দুটি ঘরের মধ্যে প্রয়োজনীয় সর্বাধিক চাল। নিশ্চিত জয়: অবস্থানগুলোর যে অংশে (সাদার চাল) কিস্তিমাত বাধ্যতামূলক। দীর্ঘতম কিস্তিমাত: চালে, দুই পক্ষের সেরা খেলায়। Maharajah-এর ঘুঁটিগুলো চিহ্নিত।

Betza কাল্পনিক ঘুঁটির চালের প্রচলিত সংক্ষিপ্ত লিখনপদ্ধতি। W রেখা বরাবর এক ধাপ, F কর্ণ বরাবর এক ধাপ, N ঘোড়ার লাফ, K = W + F রাজার ধাপ; R, B ও Q পিছলে চলে, আর দ্বিগুণ অক্ষরও পিছলে চলে (NN, নাইটরাইডার)। অক্ষর জোড়া লাগে: RN নৌকার মতোও চলে, ঘোড়ার মতোও। বোড়ের mfWcfF-এ m মানে শুধু চলা, c শুধু খাওয়া, f সামনে।

চারটি সিদ্ধান্ত, যা কেবল জ্যামিতি থেকেই আসে:

1. গতিশীলতা ঠিক যোগ হয়। ঘোড়ার ভেক্টর কোনো সরলরেখা বা কর্ণ ভেক্টরের গুণিতক নয়, তাই ঘোড়ার ঘর কখনো পিছলে চলা ঘুঁটির ঘরের সঙ্গে মেলে না: A = B + N = 8.75 + 5.25 = 14.00, ঠিক নৌকার সমান।
2. মিলন এমন কিছু পারে যা কোনো অংশ পারে না। গজ বা ঘোড়া কেউই একা কিস্তিমাত দিতে পারে না; আর্চবিশপ যেকোনো অবস্থান থেকে পারে। কারণ ঘরের রং (চিত্র 6)।
3. মহারাজা সর্বোচ্চ 4 চালে কিস্তিমাত দেয় যেকোনো অবস্থান থেকে; মন্ত্রীর লাগে 10 পর্যন্ত।
4. সমতা। যে ঘুঁটির প্রতিটি চাল ঘরের রং বদলায় (W, N, W+N, নাইটরাইডার), সে একা কিস্তিমাত দিতে পারে না। এটি 18টি ঘুঁটিতে দেখা একটি ধারা, প্রমাণ নয়।

সহজ কথায়: কলাম আর সারিকে 1 থেকে 8 পর্যন্ত নম্বর দিন এবং দুটি সংখ্যা যোগ করুন। গাঢ় ঘরের যোগফল জোড়, হালকা ঘরের বিজোড়। গজের চাল যোগফলকে জোড় সংখ্যায় বদলায়, তাই গজ কখনও রং বদলায় না। ঘোড়ার চাল তা বদলায় 1 বা 3 দিয়ে, যা বিজোড়, তাই ঘোড়া প্রতি চালে রং বদলায়। আর্চবিশপের দুটি চালই আছে এবং সে যেকোনো ঘরে পৌঁছাতে পারে, তাই সে মাত দিতে পারে, অথচ গজ বা ঘোড়া একা পারে না।

দাবির সীমা

যাতে উপসংহারটি প্রমাণের চেয়ে বেশি বিস্তৃতভাবে পড়া না হয়:

• সব সম্ভাব্য ঘুঁটি নয়। Maharajah-এ 1.3 লক্ষ কোটির বেশি প্রতিসম ঘুঁটির মধ্যে 7টি আছে। এটি {R, B, N} ভিত্তির উপর মিলনের অধীনে সম্পূর্ণ, অর্থাৎ দাবার নিজের দূরপাল্লার চালের সাপেক্ষে।
• ঘোড়ার পিছলে চলা। সরলরেখা আর কর্ণের জন্য দাবায় ধাপ (রাজা) ও পিছলে চলা (নৌকা, গজ) দুটোই আছে; ঘোড়ার জন্য আছে কেবল লাফ। নাইটরাইডার, যে ঘোড়ার ভেক্টর বরাবর পিছলে চলে, দাবাতেও নেই, Maharajah-এও নেই।
• অন্য ধরনের ঘুঁটি, যারা কেবল সামনে চলে, অন্য ঘুঁটির উপর দিয়ে লাফায় বা যাদের পথ আটকানো যায়, এই মডেলের বাইরে।
• শক্তি ও মূল্য। খেলায় একটি ঘুঁটির মূল্য কত, জ্যামিতি তা ঠিক করে না। সেটি ইঞ্জিন দিয়ে মাপার প্রশ্ন, এই লেখার নয়।

ধারণার ইতিহাস

দাবার ঘুঁটির সেট সবসময়ই বাড়ানো হয়েছে। শতরঞ্জে মন্ত্রীর জায়গায় ছিল ফার্জ, কর্ণ বরাবর এক ধাপ, আর গজের জায়গায় আলফিল, (2, 2)-এ লাফ। পঞ্চদশ শতকের শেষে ইউরোপে এদের জায়গা নেয় আধুনিক মন্ত্রী (R ∨ B) আর গজ, আর তখনই চালের মিলন দাবায় আসে।

নৌকা আর গজকে ঘোড়ার সঙ্গে মেলানোর প্রস্তাব বহুবার এসেছে: পিয়েত্রো কারেরা (1617) 10 × 8 বোর্ডে, হেনরি বার্ড (1874), হোসে রাউল কাপাব্লাঙ্কা (1920-এর দশক) চ্যান্সেলর ও আর্চবিশপসহ, ক্রিস্টিয়ান ফ্রিলিংয়ের Grand Chess (1984) 10 × 10-এ, ইয়াসের সেইরাওয়ান ও ব্রুস হার্পারের Seirawan Chess (2007) 8 × 8-এ। মন্ত্রী আর ঘোড়া মিলে (অ্যামাজন) আঞ্চলিক ও কাল্পনিক দাবায় দেখা যায়। ঐতিহাসিক তারিখগুলো বহুল উদ্ধৃত সূত্র থেকে, মূল সূত্রের সঙ্গে মেলানো হয়নি।

Maharajah-এ নতুন ঘুঁটিগুলো নিজে নয়, বরং এই যে সাতটি মিলনই সাধারণ 8 × 8 বোর্ডে একসঙ্গে আছে, আর খেলোয়াড়েরা একই বাজেট থেকে বাহিনী গড়েন।

পদ্ধতি ও পুনরুৎপাদনযোগ্যতা

এখানকার প্রতিটি সংখ্যা গণনা করা, সাহিত্য থেকে নেওয়া নয়। kxk.c (C, প্রায় 3 সেকেন্ড) গতিশীলতা, রঙে বাঁধা থাকা আর ব্যাস গোনে, এবং K + X বনাম K এন্ডগেম পশ্চাদমুখী বিশ্লেষণে সমাধান করে: কিস্তিমাতের অবস্থান থেকে পেছনের দিকে, প্রতিবার আধা চাল, যতক্ষণ না জেতা অবস্থানের সেট বাড়া থামে। বৈধ অবস্থানে রাজারা পাশাপাশি নয় আর ঘুঁটি নিজের ঘরে; অচলাবস্থা ড্র; কালো রাজা অরক্ষিত ঘুঁটি খেতে পারে। এই পাতার ছোট ছবিগুলো একই চাল-সংজ্ঞা থেকে আঁকা। kxk.c-এর সোর্স কোড ওপরের লিংক থেকে ব্রাউজারে খোলে: cc -O2 kxk.c -o kxk দিয়ে কম্পাইল করে ./kxk চালান।

উপসংহার

প্রচলিত দাবা তার দূরপাল্লার ঘুঁটি তিনটি চাল দিয়ে গড়ে — সরলরেখা, কর্ণ আর ঘোড়ার লাফ — এবং তাদের সাতটি মিলনের চারটি ব্যবহার করে। মহারাজা, চ্যান্সেলর আর আর্চবিশপ ঠিক সেই বাদ পড়া তিনটি। তাই Maharajah-এর ঘুঁটির সেট নিজের চালের মিলনের অধীনে দাবার সেটের সংবৃতি। নতুন কিছু যোগ হয়নি; মন্ত্রী যা শুরু করেছিল, তা সম্পূর্ণ হয়েছে।

আর গণিত সারাক্ষণ বোর্ডেই ছিল। যে খেলোয়াড় জানেন গজ নিজের রঙে থাকে, ঘোড়ার লাফ ফিরিয়ে নেওয়া যায়, বা একটা নকশা অন্য পাশেও একইভাবে কাজ করে, তিনি নাম না জেনেই ভেক্টর, প্রতিসাম্য আর জোড়-বিজোড় ব্যবহার করে এসেছেন।

এই ঘুঁটিগুলো দিয়ে বাহিনী গড়তে পারেন বাহিনী নির্মাতায়, আর প্রতিটি কীভাবে চলে তা দেখতে পারেন শিখুন অংশে।